ගණිත ලොව විශ්මිත 6174 ඉලක්කම - Kaprekar's Constant

NRTG said:

මේක මරු.

Click to expand...

SHEHAN_GIWANTHA said:

අපි කවුරුත් දන්නා විදියට ගණිතය කියන්නේ බොහොම නිශ්චිත, ඒ වගේම තර්කානුකූල විෂයක්. හැබැයි සමහර වෙලාවට මේ ගණිතය ඇතුළේ හරිම පුදුම සහගත, අදහාගන්න බැරි තරමේ මැජික් වගේ සිදුවීම් හැංගිලා තියෙනවා. පාසල් යන කාලේ අපි ඉගෙනගත්ත එකතු කිරීම්, අඩු කිරීම් ඇතුළේ මෙච්චර ලොකු ගැඹුරක් තියෙනවා කියලා අපි කවදාවත් හිතුවේ නැහැ. අන්න ඒ වගේ ගණිත ලෝකයම හොලවපු, අදටත් ලෝකයේම අවධානය දිනාගෙන තියෙන පුදුමාකාර ඉලක්කමක් ගැන තමයි අද අපි කතා කරන්න යන්නේ. ඒ තමයි "6174".

බැලූ බැල්මට මේක නිකම්ම නිකන් ඉලක්කම් හතරක සංඛ්‍යාවක් විතරයි. හැබැයි මේ ඉලක්කම පිටුපස තියෙන කතාව සහ මේක හැසිරෙන විදිය දැක්කම ඇත්තටම පුදුම හිතෙනවා. ගණිතඥයන් මේකට කියන්නේ කප්ප්‍රේකාර්ගේ නියතය (Kaprekar's Constant) කියලා. ඇයි මේකට නියතයක් කියන්නේ? ඇයි මේක මෙච්චර විශේෂ? අපි දැන් ඒ ගැන විස්තරාත්මකව සොයා බලමු.

කවුද මේ ඩී. ආර්. කප්ප්‍රේකාර්?

මේ අපූරු ඉලක්කම ගැන කතා කරන්න කලින්, මේක ලෝකෙට හොයලා දීපු පුද්ගලයා ගැන කතා නොකරම බැහැ. මොකද ඔහුගේ කතාවත් හරිම රසවත්. දත්තාත්‍රේය රාමචන්ද්‍ර කප්ප්‍රේකාර් (D.R. Kaprekar) කියන්නේ ඉන්දියාවේ හිටපු ගණිතඥයෙක්. හැබැයි ඔහු අපි සාමාන්‍යයෙන් දකින විශ්වවිද්‍යාල මහාචාර්යවරයෙක් නෙවෙයි. ඔහු රැකියාව කළේ පාසල් ගුරුවරයෙක් විදියට. ඔහු ජීවත් වුණේ මුම්බායි නගරයට උතුරින් පිහිටි දේව්ලාලි කියන කුඩා නගරයේ.

කප්ප්‍රේකාර්ට ගණිතය ගැන තිබුණේ පුදුම පිස්සුවක්. ඔහු නිතරම ඉලක්කම් එක්ක සෙල්ලම් කළා. නමුත් එකල හිටපු මහාචාර්යවරුන් සහ උසස් ගණිතඥයන් කප්ප්‍රේකාර්ව එච්චර ගණන් ගත්තේ නැහැ. ඔවුන් හිතුවේ කප්ප්‍රේකාර් කියන්නේ නිකම්ම ඉලක්කම් එක්ක විනෝද වෙන, ගැඹුරු ගණිතමය දැනුමක් නැති කෙනෙක් කියලා.

මොකද කප්ප්‍රේකාර් හොයාගත්ත දේවල් බොහොම සරලයි වගේ පෙනුනට, ඒවයේ තිබුණු රටාවන් අතිශය සංකීර්ණයි. ඔහුට නිසි ඇගයීමක් නොලැබුණත්, ඔහු සංඛ්‍යා එක්ක කරන ගවේෂණය නතර කළේ නැහැ. අන්න ඒ උත්සාහයේ ප්‍රතිඵලයක් විදියට තමයි 1949 වර්ෂයේදී මදුරාසියේ පැවති ගණිත සමුළුවකදී ඔහු මේ විශ්මිත "6174" ඉලක්කම ලෝකෙට හඳුන්වා දුන්නේ. එදා බොහෝ අය මේක විහිළුවක් විදියට දැක්කත්, අද වෙද්දී ලෝකයේ දියුණුම පරිගණක පවා මේ ඉලක්කමේ හැසිරීම ගැන පර්යේෂණ කරනවා.

මොකක්ද මේ 6174 මැජික් එක?

මේක අත්හදා බලන්න ඔයාලට පුළුවන් පොඩි පියවර කිහිපයක් අනුගමනය කරන්න.

පියවර 1

කැමති ඕනෑම ඉලක්කම් 4ක සංඛ්‍යාවක් තෝරාගන්න.

හැබැයි එකම කොන්දේසියයි තියෙන්නේ. මේ ඉලක්කම් 4ම එක සමාන වෙන්න බැහැ. ඒ කියන්නේ 1111, 2222, 9999 වගේ ඒවා හරියන්නේ නැහැ. අඩුම තරමේ එක ඉලක්කමක්වත් වෙනස් වෙන්න ඕනේ. (උදාහරණයකට අපි 2025 වර්ෂය ගනිමු).

පියවර 2

දැන් මේ තෝරාගත්ත සංඛ්‍යාවේ තියෙන ඉලක්කම් 4 පාවිච්චි කරලා, හදන්න පුළුවන් විශාලම සංඛ්‍යාව හදාගන්න. ඒ කියන්නේ ඉලක්කම් ටික ලොකු අගයේ ඉඳන් පොඩි අගයට පෙළගස්වන්න ඕනේ.

(අපි ගත්ත 2025 ඉලක්කම ඇතුළේ තියෙන්නේ 2, 0, 2, 5 කියන ඉලක්කම්නේ. මේකෙන් හදන්න පුළුවන් ලොකුම අගය තමයි 5220).

පියවර 3

ඊළඟට ඒ ඉලක්කම් 4ම පාවිච්චි කරලා හදන්න පුළුවන් කුඩාම සංඛ්‍යාව හදාගන්න. ඒ කියන්නේ පොඩි අගයේ ඉඳන් ලොකු අගයට පෙළගස්වන්න.
(අපේ උදාහරණයේ හැටියට 2, 0, 2, 5 න් හදන්න පුළුවන් කුඩාම සංඛ්‍යාව තමයි 0225).

පියවර 4

දැන් අර ලොකු සංඛ්‍යාවෙන් කුඩා සංඛ්‍යාව අඩු කරන්න.

පියවර 5

එන උත්තරයටත් ආයෙම අර පියවර 2, 3, 4 ටික ඒ විදියටම කරන්න.

මේ විදියට දිගටම කරගෙන යද්දී, පුදුම වැඩේ කියන්නේ වැඩිම වාර ගණනක් ගියොත් හත් පාරයි (7 steps), අනිවාර්යයෙන්ම ඔයාට ලැබෙන උත්තරේ "6174" වෙනවා. ඊට පස්සේ මොන දේ කළත් උත්තරේ වෙන්නේ 6174 මයි.

උදාහරණයක් මගින් තහවුරු කරගනිමු
අපි අර කලින් කතා කළ උදාහරණයම (2025) අරගෙන මේක පියවරෙන් පියවර කරලා බලමු.

ආරම්භක අංකය - 2025

* විශාලම අගය: 5220

* කුඩාම අගය: 0225

* අඩු කළාම: 5220 - 0225 = 4995

(දැන් අපිට තියෙන්නේ 4995 කියන අංකය. මේක පාවිච්චි කරලා ආයේ අර විදියටම කරමු).

* විශාලම අගය 9954 (ලොකු ඉලක්කම් ඉස්සරහට)

* කුඩාම අගය 4599 (පොඩි ඉලක්කම් ඉස්සරහට)
* අඩු කළාම 9954 - 4599 = 5355

(දැන් අංකය 5355).

* විශාලම අගය: 5553

* කුඩාම අගය: 3555

* අඩු කළාම: 5553 - 3555 = 1998

(දැන් අංකය 1998).

* විශාලම අගය: 9981

* කුඩාම අගය: 1899

* අඩු කළාම: 9981 - 1899 = 8082

(දැන් අංකය 8082).

* විශාලම අගය: 8820

* කුඩාම අගය: 0288

* අඩු කළාම: 8820 - 0288 = 8532

(දැන් අංකය 8532).

* විශාලම අගය: 8532

* කුඩාම අගය: 2358

* අඩු කළාම: 8532 - 2358 = 6174

මෙන්න අපේ නියතය ආවා! දැන් බලන්න මේකෙන් එහාට ගියොත් මොකද වෙන්නේ කියලා.

දැන් අපිට තියෙන්නේ 6174 නේ.

* විශාලම අගය: 7641

* කුඩාම අගය: 1467

* අඩු කළාම: 7641 - 1467 = 6174

දැක්කනේ? ආයෙමත් ආවේ 6174 මයි. තව කොච්චර කැරකුවත් එන්නේ 6174 මයි. මේක හරියට චක්‍රයක් වගේ කැරකි කැරකි එකම තැන තියෙනවා. අන්න ඒකයි මේ අංකයට මෙච්චර වටිනාකමක් ලැබිලා තියෙන්නේ.

ඔයා වෙන ඕනෑම ඉලක්කම් 4ක අංකයක් (සියලු ඉලක්කම් සමාන නොවන) අරගෙන බැලුවත්, උපරිම පියවර 7ක් ඇතුළත මේ තත්ත්වයට පත් වෙනවාමයි. සමහර අංක පියවර 3කින් එනවා, සමහර ඒවා 7කින් එනවා. හැබැයි එන එක නතර කරන්න කාටවත් බැහැ.

ඇයි මෙහෙම වෙන්නේ?

මේ ප්‍රශ්නය ගොඩක් අයට එනවා. මේක ඇතුළේ තියෙන ගණිතමය සිද්ධාන්තය ටිකක් ගැඹුරුයි. සරලව කිව්වොත්, අපි දශමය (10 පාදයේ) සංඛ්‍යා භාවිතා කරන නිසා ඉලක්කම් බෙදී යන රටාවේ ස්වභාවයක් මේක. අපි ලොකු අංකයෙන් පොඩි අංකය අඩු කරනකොට, ඒ ලැබෙන උත්තරය සෑම විටම 9යේ ගුණාකාරයක් වෙනවා.

(ඕනෑම සංඛ්‍යාවක ඉලක්කම් මාරු කරලා අඩු කළාම එන උත්තරේ 9න් බෙදෙනවා කියන එක ගණිත රීතියක්).

ඉතින් මේ විදියට අඩු කරගෙන අඩු කරගෙන යද්දී, ඉලක්කම් හතරේ සංඛ්‍යා පද්ධතිය ඇතුළේ තියෙන "කේන්ද්‍රීය ලක්ෂ්‍යය" නැත්නම් ගුරුත්ව කේන්ද්‍රය විදියට ක්‍රියා කරන්නේ 6174 කියන අංකයයි.

තවත් පුදුම හිතෙන කාරණා

මේ 6174 ගැන තව හරිම අපූරු දේවල් ටිකක් තියෙනවා.

* ඉලක්කම් 3 කප්ප්‍රේකාර් නියතය

කප්ප්‍රේකාර් මහත්තයා හොයාගත්තා ඉලක්කම් 3ක් විතරක් ගත්තොත් මොකද වෙන්නේ කියලා. ඉලක්කම් 3ක් අරගෙන මේ සෙල්ලමම කළොත්, අන්තිමට එන්නේ "495" කියන අංකය. (උදාහරණයට: 954 - 459 = 495). ඒකත් මැජික් එකක් වගේ.

* පියවර ගණන

ඕනෑම අංකයක් 6174 බවට පත් වෙන්න යන පියවර ගණන අනුව ඒවා වර්ග කරන්න පුළුවන්. උදාහරණයකට 1949 වගේ අංකයක් ගත්තොත් පියවර 3කින් වැඩේ ඉවරයි. හැබැයි සමහර අංකවලට පියවර 7ක්ම යනවා.

* පාට රටා

නූතන ගණිතඥයන් මේ සංඛ්‍යා රටා පරිගණක ගත කරලා ප්‍රස්ථාර ඇන්දාම, ඒවා හරිම ලස්සන මල් රටා වගේ චිත්‍ර මැවුණා. මේ සරල අඩු කිරීම ඇතුළේ ස්වභාවධර්මයේ තියෙන යම්කිසි රටාවක් හැංගිලා තියෙනවා වගේ හැඟීමක් ඒකෙන් ඇති වුණා.

කප්ප්‍රේකාර්ගේ අනෙකුත් සොයාගැනීම්

කප්ප්‍රේකාර් කියන්නේ නිකම්ම එක සොයාගැනීමක් කරපු කෙනෙක් නෙවෙයි. ඔහු තවත් අපූරු සංඛ්‍යා වර්ග හොයාගත්තා.

* කප්ප්‍රේකාර් සංඛ්‍යා (Kaprekar Numbers)

මේක තවත් අපූරු සංඛ්‍යා කුලකයක්. උදාහරණයකට 45 කියන අංකය ගමු. 45 හි වර්ගය (45 x 45) වෙන්නේ 2025 යි. දැන් මේ 2025 දෙකට කඩන්න. 20 සහ 25 විදියට. දැන් ඒ දෙක එකතු කරන්න. 20 + 25 = 45. දැක්කද? පටන් ගත්ත අංකයම ආවා. අන්න ඒ වගේ සංඛ්‍යාවලට කප්ප්‍රේකාර් සංඛ්‍යා කියනවා. (තවත් උදාහරණයක්: 9. 9x9=81. 8+1=9).

* හර්ෂද් සංඛ්‍යා (Harshad Numbers)

මේවා හඳුන්වන්නේ "සතුට ගෙන දෙන සංඛ්‍යා" කියලා. යම් සංඛ්‍යාවක් එහි ඇති ඉලක්කම්වල එකතුවෙන් බෙදන්න පුළුවන් නම් ඒවා හර්ෂද් සංඛ්‍යා වෙනවා. උදාහරණයට 18 ගමු. 1 + 8 = 9. 18 කියන අංකය 9න් බෙදෙනවා. ඒ නිසා 18 කියන්නේ හර්ෂද් සංඛ්‍යාවක්.

අපිට මේකෙන් ඉගෙන ගන්න තියෙන්නේ මොනවාද?

කප්ප්‍රේකාර්ගේ කතාවෙන් සහ 6174 අංකයෙන් අපිට ජීවිතයට ගන්න ලොකු පාඩමක් තියෙනවා. කප්ප්‍රේකාර් පාසල් ගුරුවරයෙක් විතරයි. ඔහුට ලොකු රසායනාගාර තිබුණේ නැහැ. සුපිරි පරිගණක තිබුණේ නැහැ. ඔහුට තිබුණේ පැන්සලයි, කොළ කෑල්ලයි, කුතුහලයයි විතරයි. ලෝකෙම ඔහුට හිනා වෙද්දී ඔහු තමන්ගේ පාඩුවේ තමන් ආස දේ කළා. අන්තිමට ලෝකෙටම පිළිගන්න වුණා ඔහු තරම් ඉලක්කම් ගැන දැනුනු කෙනෙක් ඒ කාලේ හිටියේ නැහැ කියලා.

අදටත් කප්ප්‍රේකාර්ගේ නියතය ගැන ලෝකේ පුරා ගණිත පන්තිවල උගන්වනවා. ජපානයේ, ඇමෙරිකාවේ විතරක් නෙවෙයි, යූ ටියුබ් එකේ මිලියන ගණන් වීව්ස් තියෙන වීඩියෝ පවා මේ ගැන තියෙනවා. අපිට පේන දේ තමයි, ගණිතය කියන්නේ විභාග පාස් වෙන්න තියෙන විෂයක් විතරක් නෙවෙයි කියන එක. ඒක කලාවක්. ඒක ඇතුළේ තියෙන්නේ සොයාගැනීම්වලින් පිරුණු ලෝකයක්.

ඔබත් පොඩ්ඩක් නිවාඩු වෙලාවක මේ සෙල්ලම කරලා බලන්න. ඔබේ උපන් දිනය, වාහනයේ අංකය, නැත්නම් දුරකථන අංකයේ කොටසක් අරගෙන මේ කප්ප්‍රේකාර් ක්‍රමවේදය (Kaprekar's Routine) අත්හදා බලන්න. පියවර කීයකින් 6174 එනවාද කියලා බලන්න. ඒක හරිම විනෝදජනක වැඩක් වගේම, අපේ මනසට හොඳ අභ්‍යාසයක්.

ඉතින්, 6174 කියන්නේ නිකම්ම ඉලක්කමක් නෙවෙයි. ඉන්දියාවේ සාමාන්‍ය ගුරුවරයෙක් මුළු ලෝකයටම දායාද කළ අමරණීය සිහිවටනයක්.

Click to expand...

Rick Sanchezz said:

ado base10 eke 6174 kiyanne Blackhole ekak wage

Click to expand...

IndrajithGamage said:

ඕකෙ ඔච්චර "මැජික්", "විශ්මයජනක" හුත්තක් නෑ බං. කැරිම සරල සීන් එකක්. මෙහෙම හිතපන්කො.

ඉලක්කම් 4 යිනෙ තියෙන්නෙ. හැම එකටම වෙන්න පුළුවන් 0-9 දක්වා අංකයක් විතරයි. අනික සේරම වෙනස් වෙන්නත් ඕනනෙ. ඉතින් පුළුවන් ලොකුම එක ලිව්වාම ඉලක්කම් හතර a, b, c, d කියල ගනින්කො.

abcd = 9761 නම් a=9, b=7, c=6, d=1 අන්න එහෙම.

මෙතන වැදගත්ම දේ a > b > c > d

ලොකුම එක ලිව්වම පොඩිම එක එන්නෙ හරිම සරල ක්‍රමයකින්. a සහ d swap කරනවා, b සහ c swap කරනවා. ඉතින් පොඩිම එක,

dcba ම විතරයි.

d < c < b < a

දැන් දෙක අඩු කරනවා කියන්නෙ මොකක්ද කියල හිතපන්කො. a-d, b-c, c-b, d-a නෙ නේද.?

හොඳට බලපන් ඕකෙ තියෙන්නෙ value එක ගත්තොත් a-d සහ b-c විතරයි. අනිත් දෙක දෙපැත්ත මාරු වෙලා විතරයි. එ‍්වා අරන් වැඩක් නෑනෙ ඍණ නිසා. අනික එ‍් කියන්නෙ ස්ථානයෙ අගය ගත්තාම d = 1, c = 10, b = 100, a = 1000 නෙ. ඉතින් a-d = 999, b-c = 90. එ‍්ක තේරෙනවා නේද?

ඉතින් හුත්තියේ, ඕක කොච්චර කරත් එකම අගයකට එන තනි සංඛ්‍යාව X කියල ගනින්. එහෙම නම්,

X = 999 (a-d) + 90 (b-c) වෙන්ඩ එපැයි.

එ‍් විතරක් නෙවෙයිනෙ. එකම ඉලක්කමක් එනවා කියන්නෙ,

X (biggest) = a*1 + b*10 + c*100 + d*1000 ත් වෙන්ඩ එපැයි.

මේ දෙකත් එක්ක a > b > c > d ත් හරි යන්ඩ එපැයි. ඉතින් iteratively සුළු කරන්න පුළුවන්. Iteratively සුළු කරාම ඕකට එන්නෙ එකම උත්තරයි.

a = 7, d = 1, b = 6, c = 4 (මෙන්න මේක විතරක් ඉතින් equation ටික ගහල scientific calculator එකකින් ගන්න වෙනවා. අතින් ටිකක් අමාරුයි)

ඔය ටික මේකට දැම්මම,

X = 999*6 + 90*2 = 6174
X (biggest) = 7641

අඩු IQ උන්ට තමයි මේවා මැජික්. Iteratively සුළු කරන්න calculator එහෙම තිබුණ නැති කාලෙ නම් ටිකක් අමාරුයි. දැන් මේ තනි equation එකක් ගහපු ගමන් උත්තරේ එනවනෙ පකෝ ඕනම scientific calculator එකකින්.

Click to expand...

super077 said:

පණ්ඩිතයා ආවා.. මූ පුදුමයි බං තාමත් ලංකාවට වෙලා ඉන්න එක.. පුදුම IQ level එකක් තියෙන එකෙක් නෙවැ..

Click to expand...

රිදුණට කරන්ඩ දෙයක් නෑ පයි කොටෝ. පොඩ්ඩක් මොළේ තියෙනවා නම් ඕවා මාර සරලයි. තොපි වගේ ගොන් හැත්ත තමයි ඉලක්කම් 3 සංඛ්‍යාවක් හිතා ගනින් කියලා, එ‍්ක දෙපාරක් ලියපන් කියලා, එ‍්ක 7 නුයි 11 නුයි, 13 නුයි බෙදුවට පස්සෙ කලින් එකම එනවා කිව්වම, බුදු අම්මෝ මාරයි කියල කට අ‍ැරන් බලාගෙන ඉන්නෙ.

347 හිතා ගත්ත නම්,

347347 ÷ 7 = 49621
49621 ÷ 11 = 4511
4511 ÷ 13 = 347

අමෝ අමෝ හිතාගත්ත එකම අ‍ැවිත්. 100 - 999 ඕන ඉලක්කමක් අරන් බලහන්.

ඇත්ත කියපන් එ‍්කත් තොට මැජික් නේද? එහෙම වෙන්නෙ අ‍ැයි කියල ගොන් මොළේට තේරෙන් නෑ නේද?