එළකිරි ගණන් පන්තිය (mega thread)

[$hiñe]

එළකිරි ගණන් පන්තිය (mega thread)

එළකිරි ගණන් පන්තිය
පූර්විකාව

ගණිතය කිව්වම ගොඩක් දෙනෙක් හිතන්නෙ ඒක මහ අමාරු විෂයක් කියලයි. ඇත්තටම ගණිතය අමාරුද? මේ උත්සාහය ගොඩ දෙනෙකුට නොතේරෙන මේ ගණිතය, තේරෙන සිංහලෙන් පුළුවන් තරම් සරලව පැහැදිළි කරල දෙන්නයි.

මේ සඳහා මා මුලින්ම තෝරා ගත්තේ වීජ ගණිතය හා සම්බන්ධ පාඩම් කිහිපයක්. ඉදිරියේදී වෙනත් මාතෘකා ගැනත් සටහන් තබන්න මා බලාපොරොත්තු වෙනවා. මෙම පාඩම්, අ.පො.ස. සමාන්‍ය පෙළ, අ.පො.ස. උසස් පෙළ වගේම විශ්වවිද්‍යාලවල මුල් වසර වල ඉගෙන ගන්නා සිසුන්ටත් උපකාර වෙතැයි මා බලාපොරොත්තු වෙනවා. මෙම සටහන් පෙල සාර්ථක කර ගැනීමට ඔබ සැමගේ අදහස්, උදහස්, යෝජනා වගේම චෝදනාත් මා බලාපොරොත්තු වෙනවා.

මේ සටහන් පෙල සාර්ථක කරගැනීමට අවශ්‍ය පාරිභාෂික වචන සපයා දෙමින් සහ අන්තර්ගත කරුණු වල නිරවද්‍යතාවය පිරික්සමින් මට උදවු දෙන කැළණිය විශ්වවිද්‍යාලයේ ගණිත අධ්‍යයනාංශයේ කථිකාචාර්ය ආචාර්ය කුමුදු මල්ලවාරච්චි මහතාටත්, ඉතා පහසුවෙන් ලිනක්ස් මෙහෙයුම් පද්ධතිය මත සිංහලෙන් යතුරු ලියනය කර ගැනීමට හැකි "සයුර" මෘදුකාංගය සැකසූ අනුරාධ රත්නවීර මහතාටත්, මගේ විශේෂ ස්තූතිය මේ අවස්ථාවේ පිරිනමන්නට මා කැමතියි.

තනි තනිව මතක් කළ නොහැකි වුනත්, මේ සටහන් පෙල සාර්ථක කර ගැනීමට දායක වුන තවත් බොහෝ අය සහ ආයතන තියෙනවා. ඒ සැමටත් මාගේ ස්තූතිය පිරිනමන්න මා කැමතියි.

මේ සටහන් පෙල කියවීමට පැමිණෙන, කියවීමෙන් පසු සටහන් තබා යන ඔබ සැමටත් විශේෂයෙන් ස්තූති කළ යුතුයි.

කරුණාකර කමෙන්ට් දැමීමෙන් වලකින්න
එය පාඩම් මාලාවට බාදාවක් වනු ඇත
බැලීම පමණක් ප්‍රමානවත් වේ

 

[$hiñe]

වීජීය ප්‍රකාශන

ඔන්න ඉතින් හා හා පුරා කියලා අපි අපේ වැඩේ පටන් ගන්නයි යන්නේ. මුලින්ම, අපි මේ ලිපි පෙළ ඉදිරියට පවත්වාගෙන යන්න උදවු වෙන කරුණු කාරණා කිහිපයක් ගැන අවධානය යොමු කරමු. සමහරවිට මේවා සරළ වැඩියි කියල ඔයාලට හිතෙන්නත් පුළුවන්. ඒ වුනත්, සමහර විට ඉදිරි ලිපි වලදී උපකාරී විය හැකි නිසාත්, සමහරවිට මේ කරුණු අමතක වෙලා තියෙන්න පුළුවන් නිසාත්, ඒ ඔක්කොටමත් වඩා, ශක්තිමත් අඩිතාලමක් ඇතුව වැඩේ පටන් ගන්න එක කෝකටත් හොඳ නිසාත්, මේ කරුණු ගැන මුලින්ම ලියන්න මා තීරණය කළා.

මුලින්ම මගේ හැඳිනවීමේදීම කීවනේ මුලින්ම වීජ ගණිතය ගැන ටිකක් කථා කරනවා කියලා. වීජ ගණිතයේදී බොහෝවිට සංඛ්‍යාවන් දැක්වීමට අංක වගේම අකුරුත් පාවිච්චි කරනවා. මේ සඳහා ඉංග්‍රීසි හෝඩියේ එන අකුරු (උදාහරණ වශයෙන්, a, b,c, x, y වගේ) වගේම, ග්‍රීක හෝඩියේ එන අකුරුත් (උදාහරණ වශයෙන්, α, β, θ, π, Ω වගේ) යොදා ගන්නවා. මෙලෙස ඉංග්‍රීසි හෝ ග්‍රීක අකුරු යොදා ගන්නේ අගය නොදන්නා දේවල් (අඥාත පද), අගය වෙනස් විය හැකි විචල්‍ය අගයන් හෝ යම්කිසි නියතයන් දැක්වීම සඳහායි.

උදාහරණයක් වශයෙන්, ඔබට එක දොඩම් ගෙඩියක මිල රු. x යැයි පැවසුවහොත්, දොඩම් ගෙඩි හතක් සඳහා වැය වන මුදල රු.

ලෙස ගණනය කරගත හැකියි. මෙහිදී, එම පද දෙකෙහි ගුණිතය දැක්වීම සඳහා ඒ අතරින් තිතක් තැබීම කළ හැකියි. නමුත්, එවන් කිසිම සලකුණක් එම පද දෙක අතර නොයෙදීමෙන්ද ඒවා එකිනෙක ගුණ කළ යුතු බව හැඟවෙනවා.

මෙලෙස විචල්‍යන් සහ අංක එකතු කිරීම්, අඩු කිරීම්, ගුණ කිරීම්, බෙදීම්, බලයන් හෝ මූලයන් වැනි ගණිත කර්මයන් මගින් එකිනෙක සම්බන්ධ කිරීමෙන් අපට වීජීය ප්‍රකාශන ලබාගත හැකියි. බොහෝ වීජීය ප්‍රකාශන වල බලයන් භාවිත කළ පද දක්නට ලැබේ. මෙහිදී යම් පාදයක බලයක් ලෙසින් සංඛ්‍යාවක් දැක්වීම සිදුවේ. පහත දැක්වෙන්නේ විවිධ වීජීය ප්‍රකාශන කිහිපයක් සඳහා උදාහරණයි.

 

[$hiñe]

බලයන් ලෙස සංඛ්‍යා දැක්වීම


යම් සංඛ්‍යාවක් යම් පාදයක (b) බලයක් ලෙස දැක්වීමෙන් සදහස් කරන්නේ, එම b පාදය, n වාරයක් එකිනෙක ගුණ කර ඇති බවයි.

<-----n වාරයක්----->

උදාහරණ 1.1:

 

[$hiñe]

වීජීය ප්‍රකාශනයක අගය සෙවීම

කලින් සැරේ අපි වීජීය ප්‍රකාශණයක් කියන්නෙ මොකාකද කියලා බැලුවනේ. අද අපි වීජීය ප්‍රකාශනයක අගය සොයන ආකාරය සොයලා බලමු.

වීජීය ප්‍රකාශනයක අගය සෙවීම යනුවෙන් අදහස් කරන්නේ, එම ප්‍රකාශනයෙන් දැක්වෙන අගය, එහි ඇති අඥාත පද සඳහා දෙනු ලබන අගයන් සඳහා සොයා ගැනීමයි. මෙහිදී, පහත පියවර අනුගමනය කළ හැකියි.

• එම අඥාත පද වෙනුවට, ඒ ඒ පදයන් සඳහා දෙනු ලබන අගයන් ආදේශ කිරීමෙන් සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයක් ලබා ගැනීම.
• එම සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනය තනි අගයක් දක්වා සුළු කිරීම. එහිදී පහත දැක්වෙන අනුපිළිවෙල අනුගමනය කිරීම නම් ඉතාම වැදගත්.
  1. පලමුව, වරහන් යොදා ඇති පද තුල ඇති ප්‍රකාශන, වඩාත්ම ඇතුලතින් ඇති ප්‍රකාශනයේ සිට, පිටතින්ම ඇති ප්‍රකාශනය තෙක් අනුපිලිවෙලින් සුළු කරන්න.
  2. ඊලඟට, බලයන් දැක්වෙන ප්‍රකාශන සුළු කරන්න.
  3. ඉන්පසු, ගුණ කිරීම් සහ බෙදීම්, ප්‍රකාශනයේ වමේ සිට දකුණු දෙසට යන විට හමු වන අනුපිළිවෙලට සුළු කරන්න.
  4. අවසාන වශයෙන්, එකතු කිරීම්, සහ අඩු කිරීම්, ප්‍රකාශනයේ වමේ සිට දකුණු දෙසට යන විට හමු වන අනුපිළිවෙලට සුළු කරන්න.

මෙහිදී, පලමු පියවර අනුගමනය කිරීමේදී, එහෙමත් නැත්නම්, වරහන් ඇතුලත ඇති ප්‍රකාශන සුළු කිරීමට යාමේදී, දෙවන, තුන්වන සහ සිව්වන පියවර ඒ අනුපිළිවෙලට අනුගමනය කිරීමට සිදු වේවි. පහත දැක්වෙන උදාහරණය මගින් මේ බව හොඳින් පැහැදිළි වේවි.

උදාහරණ 2.1:

හි අගය, x = 6 සඳහා සොයන්න.

පළමුවෙන්ම, මෙහි ඇති, වෙනුවට, අපි 6 ආදේශ කර ගනිමු.

දැන්, පළමුව, වරහන තුල ඇති කොටස සුළු කරමු.

මීලඟට, බලයක් ලෙස දක්වා ඇති අගය සුළු කරමු.

දැන් ගුණිතයන් සහ බෙදීම් සුළු කරමු. මෙහි ඇත්තේ එක් ගුණ කිරීමක් පමණකි.

අවසාන වශයෙන්, එකතු කිරීම් සහ අඩු කිරීම් කරමු. මෙහි ඇත්තේ එක් එකතු කිරීමක් පමණකි.

මේ අනුව,

හි අගය, x = 6 චන චිට 47ක් වේ.

 

[$hiñe]

සූත්‍ර සහ ගණිතමය ආකෘති

ගණිත සමීකරණයක් යනු, යම් වීජීය ප්‍රකාශනයන් දෙකක් අතරට සමාන ලකුණක් යෙදීමෙන් ලැබෙන්නකි. ඉහත උදාහරණය විසඳීමේදී (උදාහරණ 2.1), අපි මේ ආකාරයේ සමීකරණ යොදාගත්ත බව දැකගත හැකියි. වීජ ගණිතයේ එක් අරමුණක් වනුයේ අප අවට ඇති ලෝකය සරලව සංඛේතාත්මකව දැක්වීමය.

සූත්‍රයක් යනුවෙන් අදහස් කරන්නේ, මේ ආකාරයෙන් විචල්‍යන් භාවිතා කරමින්, යම් කිසි රාශි දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් අතර ඇති සම්බන්ධය සමීකරණයක් භාවිතයෙන් දැක්වීමය. පහත සූත්‍ර දෙකෙන් එකිනෙකට වෙනස් ව්‍යායාම අකාර දෙකකදී, පිළිවෙලින් මන්දගාමී හා වේගවත් ආකාර දෙකකදී, හෘද ස්ඵන්දන වේගය වයසත් සමග වෙනස් වන අයුරු නිරූපනය වේ.

​

මෙලෙස අප අවට ඇති ලෝකයේ සංසිද්ධි විස්ර කිරීම සඳහා යොදා ගනු ලබන සූත්‍ර, අර්ථාන්විත විචල්‍යන් සමගින් යොදා ගත් විට ගණිතමය ආකෘති ලෙස හැඳින්වේ. මෙම සූත්‍ර අවට ලෝකයේ ඇති විචල්‍යයන් අතර ඇති සම්බන්ධතාවය පැහැදිලි කිරීමට, ඒවා අතර සම්බන්ධය නිරූපණය කිරීමට යොදා ගැනේ.

උදාහරණ 3.1



පහත දැක්වෙනනේ ඇමරිකාවේ විශ්ව විද්‍යාල අධ්‍යාපනය සඳහා සිසුන්ට ගෙවීමට සිදුවන වාර්ෂික සාමාන්‍ය මුදල උද්ධමනයද සැලකිල්ලට ගනිමින් නිරූපනය කිරීම සඳහා ගොඩ නැගූ ආකෘතියකි. මෙහි T මගින්, සිසුවකුට ගෙවීමට සිදුවන මුදල ඇමරිකානු ඩොලර් වලින් දක්වා ඇති අතර, x මගින්, වසර 2000න් පසු ගතවූ අවුරුදු ගණන දක්වා ඇත.

1.මෙම ආකෘතිය භාවිතා කරමින්, වසර 2007 දී, ඇමරිකානු සිසුවකුට ගෙවීමට සිදුවන වාර්ෂික සාමාන්‍ය මුදල ගණනය කරන්න.

මෙහිදී, 2007 වසර යනු, වසර 2000න් පසු හත්වන වසර බැවින්, x වෙනුවට අපි 7 ආදේශ කර ගනිමු.

මෙය අපගේ ආකෘතියයි.

x ඇති සෑම ස්ථානයක්ම 7 මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කර ගනිමු.

මීලඟට, බලයන් සුළු කර ගනිමු.

ඉන් පසු ගුණිතයන් සුළු කර ගනිමු.

අවසාන වශයෙන් එකතු කිරීම් සුළු කර ගනිමු.

මේ අනුව, වසර 2007 දී, ඇමරිකානු සිසුවකුට, සාමාන්‍ය වශයෙන් $5917 ක වාර්ෂික ගාස්තුවක් තම විශ්වවිද්‍යාල අධ්‍යාපනය සඳහා වැය කිරීමට සිදුවන බව කිව හැකිය.


2. එම මුදලට අදාල සත්‍ය අගයන් පහත ප්‍රස්ථාරයේ පරිදි වේ නම්, මෙම ආකෘතිය සැබෑ අගය කොපමණ ප්‍රමාණයකින් අවතක්සේරු කර හෝ අධිතක්සේරු කර ඇතිද?

​

ප්‍රස්ථාරයට අනුව, 2007 වසරේදී, ඇමරිකානු සිසුවකු, සාමාන්‍ය වශයෙන් $5836 ක වාර්ෂික ගාස්තුවක් තම විශ්වවිද්‍යාල අධ්‍යාපනය සඳහා වැය කර ඇති බව පෙනී යයි. ඒ අනුව, අපගේ ආකෘතිය, $5917 - $5836 = $81 කින් 2007 වසරේ වාර්ෂික සාමාන්‍ය මුදල අධිතක්සේරු කර ඇති බව කිව හැකිය.

ආකෘති බිඳ වැටීම


සමහරවිට, අප විසින් නිර්මාණය කර ගනු ලබන මේ ගණිතමය ආකෘති මගින් ලබා දෙනු ලබන ඇස්තමේන්තු එතරම් නිවැරදි නොවන අවස්ථාවන් උදා වේ. තවත් සමහර විටක, මෙම අගයන් අතාත්වික හෝ අභව්‍ය අගයන් ගනී. උදාහරණයක් වශයෙන්, ඉහත උදාහරණයේදී අප යොදාගත් ආකෘතිය මගින් වසර 2025 දී අධ්‍යාපනය සඳහා සිසුවකු වැය කරන මුදල නිවැරදිව ගණනය කළ නොහැකි වනු ඇත. එමෙන්ම, වසර 2000 ට පෙර වසරවල එම අගයන් සමහරවිට ඍණ අගයක් ගැනීමට ඉඩ ඇත. මෙවැනි අවස්ථාවලදී අපගේ ආකෘතිය බිඳ වැටේ. එවිට එම ආකෘතිය එම අගයන් නිමානය කිරීම සඳහා තව දුරටත් යොදා ගැනීමෙන් පලක් නොවේ. ඒ සඳහා එම ආකෘතිය වෙනස් කිරීමට හෝ වෙනත් ආකෘතියක් යොදා ගැනීමට සිදුවනු ඇත.

මේ ලිපි සඳහා යොදාගනු ලබන උදාහරණ බොහොමයක් ඇමරිකානු පෙළ පොත් වලින් උපුටා ගන්නා බැවින්, ඒවා බොහෝවිට ඇමරිකානු උදාහරණ බව කරුණාවෙන් සලකන්න​