සරල විදියට මේක තේරුම් කරල දෙන්ඩ

[kellsupun]

bumop

 

[markhaloce]

අනන්තයෙන් බෙදන්න බෑ බන් .. එකනේ limits දාන්නේ ..

0/0 අනන්තෙ/අනන්තෙ අනන්තෙ*0 ඔය ටික විතරනෙ බැරි
අනන්තෙන් බෙදුවාම බින්දුවයිනෙ බං

 

[mayson baas]

පොඩි සරල ක්‍රමයක් හම්බවුණ...
20 ගමු.. අපි මේක 4න් බෙදුවම 5 නෙ.. ආයෙ ඒක මෙන්න මේ විදියට වැඩි කරමු..
20/4 = 5නම්

5 හතර පාරක් වැඩි කළාම 5x5x5x5 = 625

ඊළඟට 20, 5න් බෙදුවම 4 නෙ..
4 වැඩි කරනව පස් පාරක්
4x4x4x4x4 = 1024

දැක්ක නේ පහට වඩා 4 න් බෙදල එන ගාණ ආයෙත් වැඩි කළාම එන සංඛ්‍යාව ලොකුයි..
ඔය විදියට තවත් ඉස්සරහට ගියාම තවත් වැඩි වෙනව..
උපරිම අගේකට එන්නෙ 2.718281828 දි. ඒ කියන්නෙ 2.718x2.718x... වගේ ගත්තම තමා ලොකුම අගය ගන්ඩ පුලුවං...
හැබැයි 2.71828 වඩා වැඩි ගාණකට ගියාම ආයෙ අඩු වෙන්ඩ ගන්නව..
Eular number කියන එක තේරුම් ගන්ඩ, ඕක තමා ඉතිං මට නෙට් එකෙන් හම්බවුණු සරලම පැහැදිලි කිරීම

ඕක වැරදියි.

නෙට් එකේ e සංඛ්‍යාව අර්ථ දක්වල තියෙන්නෙ මෙහෙමයි.. ඒත් ඒක මට තේරෙන්නෙ නෑ...

ඒකයි මම කියන්නෙ මේ වගේ ලොකු සූත්‍ර වලින් නැතුව, සරල විදියට කියල දෙන්ඩ කියල...

e කියන එකට අර්ථ දැක්වීම් ගොඩක් තියෙනවා. ඕකත් එකක්. ඔය කියන්නේ මේක:

මොකක්හරි ඉලක්කමක් අරගෙන ඒක ආයේ ඒ ගානෙන්ම වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන යන්න. උදා:
6 x 6 x 6 x 6 x 6 x .......
මෙහෙම වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන ගියොත් උත්තරේ කියද? අනන්තයයි.

දැන් 1 කියන ඉලක්කම අරගෙන ඒ විදියටම වැඩි කරගෙන යන්න.
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x .......
ලක්ෂ වාරයක් වැඩි කරත් උත්තරේ 1 යි.

දැන් 1ට එකතු කරන්න ඉතාම කුඩාම කුඩාම කුඩාම කුඩාම කුඩා ඉලක්කමක් (මේ කුඩා ඉලක්කම d කියල හඳුන්වමු). මෙහෙම එකතු කරාම එන අගය 1ට ගොඩාක් ආසන්නයි. හැබැයි 1ට වඩා පොඩ්ඩක් ලොකුයි. ගොඩකින් නෙවෙයි නොගිණිය හැකි තරම් කුඩා සංඛ්‍යාවකින් තමයි 1ට වඩා ලොකු. අපි මේක (1+d) ලෙස හඳුන්වමු. දැන් මේකත් අර වගේ වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන යන්න:
(1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x .......
දැන් මේකේ උත්තරේ 1 නෙවෙයි මොකද d කියන ඉලක්කම 0 නොවන නිසා. එත් උත්තරේ අනන්තයත් නෙවෙයි d කියන එක 0ට ඉතාම ආසන්න වන නිසා. මේ ගුණිතයේ උත්තරේ තමයි ඔය 2.71828... හෙවත් e කියන සංඛ්‍යාව.

 

[markhaloce]

ඕක වැරදියි.




e කියන එකට අර්ථ දැක්වීම් ගොඩක් තියෙනවා. ඕකත් එකක්. ඔය කියන්නේ මේක:

මොකක්හරි ඉලක්කමක් අරගෙන ඒක ආයේ ඒ ගානෙන්ම වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන යන්න. උදා:
6 x 6 x 6 x 6 x 6 x .......
මෙහෙම වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන ගියොත් උත්තරේ කියද? අනන්තයයි.

දැන් 1 කියන ඉලක්කම අරගෙන ඒ විදියටම වැඩි කරගෙන යන්න.
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x .......
ලක්ෂ වාරයක් වැඩි කරත් උත්තරේ 1 යි.

දැන් 1ට එකතු කරන්න ඉතාම කුඩාම කුඩාම කුඩාම කුඩාම කුඩා ඉලක්කමක්. මෙහෙම එකතු කරාම එන අගය 1ට ගොඩාක් ආසන්නයි. හැබැයි 1ට වඩා පොඩ්ඩක් ලොකුයි. ගොඩකින් නෙවෙයි නොගිණිය හැකි තරම් කුඩා සංඛ්‍යාවකින් තමයි 1ට වඩා ලොකු. අපි මේක (1+d) ලෙස හඳුන්වමු. දැන් මේකත් අර වගේ වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන යන්න:
(1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x .......
දැන් මේකේ උත්තරේ 1 නෙවෙයි මොකද d කියන ඉලක්කම 0 නොවන නිසා. එත් උත්තරේ අනන්තයත් නෙවෙයි d කියන එක 0ට ඉතාම ආසන්න වන නිසා. මේ ගුණිතයේ උත්තරේ තමයි ඔය 2.71828... හෙවත් e කියන සංඛ්‍යාව.

d
එතකොට ඔය අගේ හෙව්වෙ කොහොමද
පුළුවන්නම් හොයන විදිහත් දාපං
රෙප්

 

[Ace Viper]

0/0 අනන්තෙ/අනන්තෙ අනන්තෙ*0 ඔය ටික විතරනෙ බැරි
අනන්තෙන් බෙදුවාම බින්දුවයිනෙ බං

එහ්නන් limits දන්න ඕනේ නැනේ .. අනන්තය කියන්නේ මොකක්හරි අංකයක් නෙමේනේ .. උබ අනන්තයි කියල හිතන එකයි මම හිතන එකයි වෙනස් වෙන්න පුලුවනේ .. එතකොට එකෙන් බෙදුවම එන උත්තරේ වෙනස්නේ .. 0 ආසන්නයි තමා ඒ උනාට අර්ථ දක්වන්න බැනේ මොකක්වත් එහෙම

 

[kellsupun]

0/0 අනන්තෙ/අනන්තෙ අනන්තෙ*0 ඔය ටික විතරනෙ බැරි
අනන්තෙන් බෙදුවාම බින්දුවයිනෙ බං

1i bn wimal wage neh ubath

 

[markhaloce]

එහ්නන් limits දන්න ඕනේ නැනේ .. අනන්තය කියන්නේ මොකක්හරි අංකයක් නෙමේනේ .. උබ අනන්තයි කියල හිතන එකයි මම හිතන එකයි වෙනස් වෙන්න පුලුවනේ .. එතකොට එකෙන් බෙදුවම එන උත්තරේ වෙනස්නේ .. 0 ආසන්නයි තමා ඒ උනාට අර්ථ දක්වන්න බැනේ මොකක්වත් එහෙම

1i bn wimal wage neh ubath

ඔව් උඹල හරි

 

[Ace Viper]

මේකෙන් බලපන් මේක තේරෙනවනේ ඕකෙන් තමා limit සීන් එක ගන්නේ

 

[mayson baas]

d
එතකොට ඔය අගේ හෙව්වෙ කොහොමද
පුළුවන්නම් හොයන විදිහත් දාපං
රෙප්

d කියන්නේ 0ට වඩා විශාල සංඛ්‍යා අතර තියෙන පොඩිම සංඛ්‍යාව කියල සරලව කියන්න පුළුවන්,

 

[markhaloce]

d කියන්නේ 0ට වඩා විශාල සංඛ්‍යා අතර තියෙන පොඩිම සංඛ්‍යාව කියල සරලව කියන්න පුළුවන්,

හරි බං
මං කියන්නෙ අර d දාල ඕකට එන උත්තරේ ගත්ත විදිහ

 

[mayson baas]

හරි බං
මං කියන්නෙ අර d දාල ඕකට එන උත්තරේ ගත්ත විදිහ

ඔයිලර් ලොක්කගේ කාලේ එහෙම ඉතින් ඕක අතින් වැඩි කරලා තමයි හොයාගත්තේ. (හැබැයි ඕකට ඔයිලර් නියතය කියල සමහරු කිව්වට මෑන්ට අවුරුදු 100කට විතර කලින් ඕක පාවිච්චි කරලා තියෙනවා).
ඔකේ අගය හොයන්න තව ඇල්ගොරිතම් තියෙනවා. wolfram mathworld කියන සයිට් එකේ බලපන්. ඔය වගේ ගණන් වලට සම්බන්ධ විස්තර ඕනේ එකක් එකෙන් ගන්න පුළුවන්.
ඕක අපරිමේය සංඛයාවක්නේ. කොච්චර කරත් ආසන්න උත්තරයක් තමයි එන්නේ.

 

[AnuradhaRa]

ඕක වැරදියි.

ඇයි බං වැරදියි කියන්නෙ...
5 වැඩි කරන්නෙ 4 වතාවයි. දිගටම යන්නෙ නෑ..
4 වැඩි කරන්නෙ 5 වතාවයි. දිගටම යන්නෙ නෑ..

මොකද 5x4 = 4x5 = 20 යි.
2 ගත්තොත් ඒක 10 වතාවක් වැඩි කරන්ඩ ඕන.. මොකද 2x10=20 නිසා..

5x5x5x5
4x4x4x4x4
2x2x2x2x2x2x2x2x2x2

මෙතන මම අරං තියෙන්නෙ 20 කියන සංඛ්‍යාව. විස්ස හදන්ඩ පුලුවං වදි වලින් මේක කරල තියෙන්නෙ
4x5
5x4
2x10


5x5x5x5 = 625
4x4x4x4x4 = 1024

බලන්ඩ 625ට වඩා 1024 විශාලයි.. ඔය විදියට අනිත් ගුණාකාරත් වැඩි කරල බැලුවම. වැඩිම අගය එන්නෙ e කියන සංඛ්‍යාවට..
20 / 2.718 = 7.35835

2.718 වැඩි කරනව 7.358 වතාවක්
නැත්තං 2.718, 7.358 වෙනි බලේ...
2.718^7.358

අපි ගත්තෙ 20 කියන සංඛ්‍යාව දෙකට කඩල
ඉතිං මේ උදාහරෙණදි ගන්න පුලුවන් ලොකුම අගය එන්නෙ ඔහොමයි...
625 ත් නෙමේ 1024 ත් නෙමේ...

 

[AnuradhaRa]

මම කැල් එකෙන් බැලුව. 1568 ට එනකං එනව...

 

[mayson baas]

ඕක වැරදියි.

ඇයි බං වැරදියි කියන්නෙ...
5 වැඩි කරන්නෙ 4 වතාවයි. දිගටම යන්නෙ නෑ..
4 වැඩි කරන්නෙ 5 වතාවයි. දිගටම යන්නෙ නෑ..

මොකද 5x4 = 4x5 = 20 යි.
2 ගත්තොත් ඒක 10 වතාවක් වැඩි කරන්ඩ ඕන.. මොකද 2x10=20 නිසා..

5x5x5x5
4x4x4x4x4
2x2x2x2x2x2x2x2x2x2

මෙතන මම අරං තියෙන්නෙ 20 කියන සංඛ්‍යාව. විස්ස හදන්ඩ පුලුවං වදි වලින් මේක කරල තියෙන්නෙ
4x5
5x4
2x10


5x5x5x5 = 625
4x4x4x4x4 = 1024

බලන්ඩ 625ට වඩා 1024 විශාලයි.. ඔය විදියට අනිත් ගුණාකාරත් වැඩි කරල බැලුවම. වැඩිම අගය එන්නෙ e කියන සංඛ්‍යාවට..
20 / 2.718 = 7.35835

2.718 වැඩි කරනව 7.358 වතාවක්
නැත්තං 2.718, 7.358 වෙනි බලේ...
2.718^7.358

අපි ගත්තෙ 20 කියන සංඛ්‍යාව දෙකට කඩල
ඉතිං මේ උදාහරෙණදි ගන්න පුලුවන් ලොකුම අගය එන්නෙ ඔහොමයි...
625 ත් නෙමේ 1024 ත් නෙමේ...

ඔව් ඕක හරි. උබ කලින් දාල තිබුන එක ඔච්චර පැහදිලි නෑ, එකයි මම කිව්වේ වැරදියි කියල. හැබැයි ඕක e වල අර්ථ දැක්වීමක් නෙවෙයි. අර්ථ දැක්වීම යොදාගෙන ගන්න පුළුවන් ප්‍රතිඵලයක්.

 

[AnuradhaRa]

ඔව් ඕක හරි. උබ කලින් දාල තිබුන එක ඔච්චර පැහදිලි නෑ, එකයි මම කිව්වේ වැරදියි කියල. හැබැයි ඕක e වල අර්ථ දැක්වීමක් නෙවෙයි. අර්ථ දැක්වීම යොදාගෙන ගන්න පුළුවන් ප්‍රතිඵලයක්.

ඒක තමා.. සාමාන්‍ය කෙනෙක්ට තේරුම් ගන්ඩ පුලුවන් විදියක් බැලුවෙ..

 

[AnuradhaRa]

ඕක වැරදියි.




e කියන එකට අර්ථ දැක්වීම් ගොඩක් තියෙනවා. ඕකත් එකක්. ඔය කියන්නේ මේක:

මොකක්හරි ඉලක්කමක් අරගෙන ඒක ආයේ ඒ ගානෙන්ම වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන යන්න. උදා:
6 x 6 x 6 x 6 x 6 x .......
මෙහෙම වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන ගියොත් උත්තරේ කියද? අනන්තයයි.

දැන් 1 කියන ඉලක්කම අරගෙන ඒ විදියටම වැඩි කරගෙන යන්න.
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x .......
ලක්ෂ වාරයක් වැඩි කරත් උත්තරේ 1 යි.

දැන් 1ට එකතු කරන්න ඉතාම කුඩාම කුඩාම කුඩාම කුඩාම කුඩා ඉලක්කමක් (මේ කුඩා ඉලක්කම d කියල හඳුන්වමු). මෙහෙම එකතු කරාම එන අගය 1ට ගොඩාක් ආසන්නයි. හැබැයි 1ට වඩා පොඩ්ඩක් ලොකුයි. ගොඩකින් නෙවෙයි නොගිණිය හැකි තරම් කුඩා සංඛ්‍යාවකින් තමයි 1ට වඩා ලොකු. අපි මේක (1+d) ලෙස හඳුන්වමු. දැන් මේකත් අර වගේ වැඩි කරගෙන වැඩි කරගෙන යන්න:
(1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x (1+d) x .......
දැන් මේකේ උත්තරේ 1 නෙවෙයි මොකද d කියන ඉලක්කම 0 නොවන නිසා. එත් උත්තරේ අනන්තයත් නෙවෙයි d කියන එක 0ට ඉතාම ආසන්න වන නිසා. මේ ගුණිතයේ උත්තරේ තමයි ඔය 2.71828... හෙවත් e කියන සංඛ්‍යාව.

අද තමා ඔය සූත්‍රය තේරුං ගත්තෙ.. උඹ පැහැදිලි කරපු නිසා.. තැන්කියු මචං...

 

[AnuradhaRa]

තව ක්‍රමයක් හම්බවුණ



ඉතිං ඇයි මේ සංඛ්‍යාව මෙච්චර වැදගත්.. මේ සංඛ්‍යාව යොදාගන්න අවස්ථා ටිකක් දාපල්ලකො.. එතකොට තේරෙයි...

උඹල කිව්ව වගේ..e^x අවකලනය කළාමත්, අනුකලනය කලාමත් එන්නෙ ඒකමයි...e^x මයි..

 

[AnuradhaRa]

දන්නෙ නැති අයට..

1! කියන්නෙ 1 ට
2! කියන්නෙ 2x1 ට
3! කියන්නෙ 3x2x1 ට

 

[AnuradhaRa]

එතකොට 0! සලකන්ඩ වෙන්නෙ කොහොමද ?
ඒකනං මම දන්නෙ නෑ...

 

[SatS]

යම් සංඛ්‍යාවක x වෙනි බලය x ට එදිරිව ප්‍රස්තාරයක ඇන්දොත් (ඒ කියන්නේ y = a^x ) කියන ප්‍රස්තාරය, මේ ප්‍රස්ථාරයේ ඔනෑම තැනක අනුක්‍රමණය එහි y අගයට සමාන වේනම් එම සංඛ්‍යාව (හෙවත් a ) e ට සමාන වේ.

මේක තමයි සරලම අර්ථ දැක්වීම බන්. උබට මේක අවුල්ද?