1+2+3+...=-1/12

lovethebomb

Well-known member
  • Apr 18, 2015
    1,412
    2,581
    113
    මේක වීජගණිතමය බේසිස් එකකින් බැලුවොත් නිවරැදි ප්‍රකාශනයක් නෙමෙයි. පැහැදිලිවම අභිසාරී නොවන අනන්ත ශ්‍රේණියක (divergent infinite series) එකතුව එන්න එන්න විදාරණය වෙනව මිසක්කා පරිමිත අගයකට සංකේන්ද්‍රණය වෙන්නෙ නෑ.

    -1/12 කතාව එන්නෙ රීමාන්-සීටා ශ්‍රිතයෙ එක අවස්ථාවකට විසඳුමක් (trivial solution) විදිහට එන ශ්‍රේණියකින්. ඒකම රමානුජන් ගෙ නෝට්බුක් එකක කුරුටු ගාල තිබුනා ඒකයි එයාගෙ නමත් ඈඳෙන්නෙ. ඒක වෙනත් ගණිඥයොත් ස්වාධීනව සාධනය කරල තිබුන ඒ වෙද්දි (සීටා ශ්‍රිතය ඇසුරෙන්). ඒ ක්‍රමය ඇරුණම තවත් අනන්ත ශ්‍රේණි කීපයක් මැනිප්‍යුලේට් කරල ඔය ශ්‍රේණිය ගන්න විදි කීපයකුත් තියෙනව.

    දැන් ප්‍රශ්නයක් එනව. එක අතකින් ඇක්සියමැටික ගණිතය අනුව එක උත්තරයකුත්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සම්බන්ද සිද්ධාන්තයකින් ඍණ පරිමිත අගයකුත් ඇවිත්. ක්‍රම දෙකේම බැලූ බැල්මට වැරැද්දක් නෑ. එහෙනම් කොතනද විමසා බලන්න ඕනෙ තැන?

    ඒකට උත්තරේ තියෙන්නෙ සමාන ලකුණ "=" භාවිත කරන විදිහෙ. අපි සංඛ්‍යාවේදයෙ = ලකුණ පාවිච්චි කරන විදි ගණනාවක් තියෙනව. ශ්‍රේණියට එන පිළිතුරු දෙක ප්‍රකාශන දෙකක් විදිහට ලියද්දි ඇත්තටම ඒවයෙ "සමානතාවය" (හෙවත් සමාන වෙන ස්වභාවය හෙවත් =) එකිනෙකට වෙනස්. මේ කාරණෙ ගැන ගණිතය හදාරන අය දන්නව, ඒත් අපි ඉස්කෝලෙදි හෝ වි.විද්‍යාලයෙ ඉන්ජිනේරු/භෞතික විද්‍යා පාඨමාලාවලදි හම්බවෙන ව්‍යවහාරික ගණිතයෙදි මේ කාරනේ කතා කරන්න අවශ්‍ය වෙන්නෙ නැති නිසා ඒ ගැන සඳහනක් වෙන්නෙ නෑ. ඔය උඩින් ලිව්ව = ලකුණෙ කතාව ටිකක් vague බව මට දැනෙනව. වෙලාවක් තිබ්බොත් තව හොඳට ලියමු.

    ප.ලි:

    එහෙමයි කියල -1/12 අගය අපි පාවිච්චි නොකර ඉන්නෙත් නෑ. සුප්‍රකටම (කුප්‍රකටම?) උදාහරණය Bosonic string theory වලදි හම්බවෙන්නෙ. සාමාන්‍යෙන් පාර්ශ්වික අවකලන සමීකරණ වල විසඳුම් අනන්ත ශ්‍රේණි විදිහට පැවතීම සාමාන්‍ය දෙයක්. Heat equation හෝ wave equation වලට විසඳුම් Fourier series හැටියට ලැබෙනව දැකල ඇතිනෙ. අන්න ඊට සමාන ආකාරයකට string theory වල යම් කොටසක ඇනෑලිසිස් එකක් කරන අතරදි අර 1 + 2 + 3 + ... ශ්‍රේණිය එනව. ඉතින් එතකොට අපි උත්තරේ අපරිමේයයි අනන්තයි කියල නිකන් ඉන්නැතුව සීටා ශ්‍රිතයෙන් එන -1/12 උත්තරේ දාල දිගටම අපේ ගොඩනැංවීම කරගෙන යනව. ඒක ඇත්තටම වෙන කරන්න දෙයක් නැති නිසා කරන දෙයක්. ඒත් තාම තන්තු වේදය පර්‍යේෂණාත්මකව ඔප්පු වෙලා නැති නිසා අර කේස් එකේ හරි වැරැද්දක් ගැන කිසිම අදහසක් ගන්න බෑ.
     
    Last edited:

    ntayya

    Well-known member
  • Dec 2, 2012
    289
    262
    63
    මේක වීජගණිතමය බේසිස් එකකින් බැලුවොත් නිවරැදි ප්‍රකාශනයක් නෙමෙයි. පැහැදිලිවම අභිසාරී නොවන අනන්ත ශ්‍රේණියක (divergent infinite series) එකතුව එන්න එන්න විදාරණය වෙනව මිසක්කා පරිමිත අගයකට සංකේන්ද්‍රණය වෙන්නෙ නෑ.

    -1/12 කතාව එන්නෙ රීමාන්-සීටා ශ්‍රිතයෙ එක අවස්ථාවකට විසඳුමක් (trivial solution) විදිහට එන ශ්‍රේණියකින්. ඒකම රමානුජන් ගෙ නෝට්බුක් එකක කුරුටු ගාල තිබුනා ඒකයි එයාගෙ නමත් ඈඳෙන්නෙ. ඒක වෙනත් ගණිඥයොත් ස්වාධීනව සාධනය කරල තිබුන ඒ වෙද්දි (සීටා ශ්‍රිතය ඇසුරෙන්). ඒ ක්‍රමය ඇරුණම තවත් අනන්ත ශ්‍රේණි කීපයක් මැනිප්‍යුලේට් කරල ඔය ශ්‍රේණිය ගන්න විදි කීපයකුත් තියෙනව.

    දැන් ප්‍රශ්නයක් එනව. එක අතකින් ඇක්සියමැටික ගණිතය අනුව එක උත්තරයකුත්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සම්බන්ද සිද්ධාන්තයකින් ඍණ පරිමිත අගයකුත් ඇවිත්. ක්‍රම දෙකේම බැලූ බැල්මට වැරැද්දක් නෑ. එහෙනම් කොතනද විමසා බලන්න ඕනෙ තැන?

    ඒකට උත්තරේ තියෙන්නෙ සමාන ලකුණ "=" භාවිත කරන විදිහෙ. අපි සංඛ්‍යාවේදයෙ = ලකුණ පාවිච්චි කරන විදි ගණනාවක් තියෙනව. ශ්‍රේණියට එන පිළිතුරු දෙක ප්‍රකාශන දෙකක් විදිහට ලියද්දි ඇත්තටම ඒවයෙ "සමානතාවය" (හෙවත් සමාන වෙන ස්වභාවය හෙවත් =) එකිනෙකට වෙනස්. මේ කාරණෙ ගැන ගණිතය හදාරන අය දන්නව, ඒත් අපි ඉස්කෝලෙදි හෝ වි.වි හම්බවෙන ව්‍යවහාරික ගණිතයෙදි මේ කාරනේ කතා කරන්න අවශ්‍ය වෙන්නෙ නැති නිසා ඒ ගැන සඳහනක් වෙන්නෙ නෑ. ඔය උඩින් ලිව්ව = ලකුණෙ කතාව ටිකක් vague බව මට දැනෙනව. වෙලාවක් තිබ්බොත් තව හොඳට ලියමු.

    ප.ලි:

    එහෙමයි කියල -1/12 අගය අපි පාවිච්චි නොකර ඉන්නෙත් නෑ. සුප්‍රකටම (කුප්‍රකටම?) උදාහරණය String theory වලදි හම්බවෙන්නෙ. සාමාන්‍යෙන් පාර්ශ්වික අවකලන සමීකරණ වල විසඳුම් අනන්ත ශ්‍රේණි විදිහට පැවතීම සාමාන්‍ය දෙයක්. Heat equation හෝ wave equation වලට විසඳුම් Fourier series හැටියට ලැබෙනව දැකල ඇතිනෙ. අන්න ඊට සමාන ආකාරයකට string theory වල යම් කොටසක ඇනෑලිසිස් එකක් කරන අතරදි අර 1 + 2 + 3 + ... ශ්‍රේණිය එනව. ඉතින් එතකොට අපි උත්තරේ අපරිමේයයි අනන්තයි කියල නිකන් ඉන්නැතුව සීටා ශ්‍රිතයෙන් එන -1/12 උත්තරේ දාල දිගටම අපේ ගොඩනැංවීම කරගෙන යනව. ඒක ඇත්තටම වෙන කරන්න දෙයක් නැති නිසා කරන දෙයක්. ඒත් තාම තන්තු වේදය පර්‍යේෂණාත්මකව ඔප්පු වෙලා නැති නිසා අර කේස් එකේ හරි වැරැද්දක් ගැන කිසිම අදහසක් ගන්න බෑ.
    Thanks
     

    sw7x

    Well-known member
  • Nov 12, 2007
    10,254
    491
    83
    ඒකට උත්තරේ තියෙන්නෙ සමාන ලකුණ "=" භාවිත කරන විදිහෙ. අපි සංඛ්‍යාවේදයෙ = ලකුණ පාවිච්චි කරන විදි ගණනාවක් තියෙනව. ශ්‍රේණියට එන පිළිතුරු දෙක ප්‍රකාශන දෙකක් විදිහට ලියද්දි ඇත්තටම ඒවයෙ "සමානතාවය" (හෙවත් සමාන වෙන ස්වභාවය හෙවත් =) එකිනෙකට වෙනස

    explain this ... pls
     
    • Like
    Reactions: MrFrog

    mag123

    Well-known member
  • Jan 20, 2008
    3,659
    481
    83
    1–1+1–1+1–1 ⋯ = 1/2
    1–2+3–4+5–6⋯ = 1/4


    PROOF; 1–1+1–1+1–1 ⋯ = 1/2

    Lets take A, as

    A = 1–1+1–1+1–1⋯

    Then I take away A from 1

    1-A=1-(1–1+1–1+1–1⋯)

    If I simplify the right side

    1-A=1–1+1–1+1–1+1⋯

    now right side is A

    1-A =A

    1-A+A=A+A

    1 = 2A

    1/2 = A

    Similarly can proof 1–2+3–4+5–6⋯ = 1/4 also.
     
    Last edited: