මොන්ටි හෝල් ගැටලුව (ගණිත ප්‍රහේලිකාව)

[BenMacTavish]

90 දශකයේ ලෝක ප්‍රකට ගණිතඥයන්ව පවා අන්ද මන්ද කරපු ගණිත ගැටලුවක් මේක. ඒ වුනාට මහා සංකීර්ණ ගණිතයක් මේකෙ නෑ, සරල සම්භාවිතාවය විතරයි.

මේකයි ගැටලුව:

හිතන්න ඔයා රූපවාහිනී game show එකකට සහභාගී වෙනව කියලා. ඔයා ඉස්සරහින් වහපු දොරවල් තුනක් තියෙනවා. දැන් ගේම් ෂෝ එක මෙහෙයවන කෙනා (host) ඔයාට තරඟයේ ස්වභාවය විස්තර කරනවා. "ඔයා ඉස්සරහ තියෙන දොරවල් තුනෙන් එකක් පිටිපස්සේ කාර් එකක් තියෙනවා. අනිත් දොරවල් දෙක පිටිපස්සෙ එලුවො දෙන්නෙක් ඉන්නවා. ඔයා දොරවල් තුනෙන් එකක් තෝරගන්න ඕන. ඒක ඇතුලේ කාර් එක තිබ්බොත් ඔයාට කාර් එක හම්බවෙනවා. එලුවෙක් හිටියොත් ඔයාට එලුවවයි හම්බවෙන්නෙ."

​

දැන් ඔයා දොරවල් තුනෙන් එකක් තෝරගන්නවා. අපි නිකමට හිතමු ඔයා පළවෙනි (1) දොර තෝරගත්තා කියලා.

දැන් ගේම් ෂෝ එකේ හොස්ට් ඔයාට මෙහෙම කියනවා. "මම දැන් ඔයාට අනිත් දොරවල් දෙකෙන් එකක් ඇරලා පෙන්නන්නම්." එහෙම කියලා පොර දෙවෙනි (2) දොර ඇරලා පෙන්නනවා. ඒක එහා පැත්තේ ඉන්නෙ එළුවෙක්.

​

දැන් හොස්ට් ඔයාගෙන් අහනවා. "ඔයාට නැවතත් තෝරගන්න අවස්ථාවක් දෙනවා. ඔයා මුලින්ම තෝරගත්තු දොරේම (1) ඉන්නවද, නැත්නම් අනිත් දොරට (3) මාරු වෙනවද?"

ඔයා හිතන්නෙ ඔයාට වැඩියෙන් වාසි මොකක්ද?

1) මුලින් තෝරගත්තු දොරේම ඉන්න එක
2) දොර මාරු කරන එක
3) දෙකෙන් මොකක් උනත් කමක් නෑ, 50-50 චාන්ස් එකක්නේ තියෙන්නෙ.

ඔයාට එක පාරම හරියි කියලා හිතෙන උත්තරේ බොහෝ දුරට වැරදියි. ඒ හින්දා තව ටිකක් කල්පනා කරලා බලන්න. සම්භාවිතා වගුවක් ගහලා බැලුවත් කමක් නෑ.

මෙතන වැදගත් key තොරතුර තමා: හොස්ට් දන්නවා කාර් එක තියෙන්නෙ මොන දොර පිටිපස්සෙද කියලා.

තීරණය කරලා ඉවර නම් උත්තරේ බලන්න පල්ලෙහාට ස්ක්‍රෝල් කරන්න.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

උත්තරේ තමා: 2

දොර මාරු කරන එකෙන් ඔයාට කාර් එක දිනන්න තියෙන චාන්ස් එක 2/3 කට වැඩි වෙනවා.
මුලින් තෝරගත්තු දොරේම හිටියොත් දිනන්න තියෙන චාන්ස් එක 1/3 යි.

ගොඩක් දෙනෙක් හිතන්නේ දොර මාරු කරත්, හිටිය එකේම හිටියත් කිසිම වෙනසක් වෙන්නෙ නෑ කියලයි. මොකද දොරවල් දෙකටම 1/2 චාන්ස් එකක් නේ තියෙන්න ඕන. ඒත් ඇත්තටම, දොර මාරු කරන එකෙන් වාසියක් තියෙනවා.

දැන් ඕක මං කියපු ගමන් පිළිගන්නෑ කියලා දන්නවා, ඒ හින්දා මං පැහැදිළි කරන්නම්.

මුලින්ම තේරුම් ගන්න ඕන කාරනය තමා, ගේම් ෂෝ එකේ හොස්ට් දන්නවා කාර් එක තියෙන්නෙ මොන දොරට එහායින්ද කියලා. මිනිහා හැම තිස්සෙම අපිට ඇරලා පෙන්නන්නේ එලුවෙක් ඉන්න දොර. කාර් එක තියෙන දොර ඇරලා පෙන්නලා හරියන්නෙ නෑනෙ.

ඔයා මුලින්ම දොරක් තෝරගද්දි, ඒ තෝරගත්ත දොර ඇරියම කාර් එක තිබීමේ සම්භාවිතය කොච්චරද? 1/3 යි.
ඔයා වැරදි දොර තෝරගන්න 2/3 ක ඉහළ චාන්ස් එකක් තියෙනවා.
හොස්ට් ඔයාට එක දොරක් ඇරලා එලුවෙක් පෙන්නුවාම ඔයාට ෂුවර්, එක්කො කාර් එක තියෙන්නෙ ඔයා තෝරගත්තු දොරේ, නැත්නම් අනිත් දොරේ.
ඒත් ඔයා මුලින් තෝරගත්තු දොර වැරදි දොර වෙන්නයි වැඩි චාන්ස් එකක් (2/3) තියෙන්නේ.
ඒ හින්දා අනිත් දොර තෝරගත්තොත් ඔයාට දිනන්න වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙනවා.

තේරුනෙ නැද්ද? නැත්නම් මාව විශ්වාස නැද්ද?

කාර් එක පළවෙනි, දෙවෙනි හෝ තුන්වෙනි ඕනෙම දොරක් පිටිපස්සෙ තියෙන්න චාන්ස් එකක් තියෙනවනේ.
අපි ඒ අවස්ථා තුනම සංසන්දනය කරලා බලමු.

පළවෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 1 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 2 වෙනි හෝ 3 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා පරාදයි.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් දිනුම්.

දෙවෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 2 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 3 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා දිනුම්.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් පරාදයි.

තුන්වෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 3 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 2 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා දිනුම්.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් පරාදයි.

උඩ අවස්ථා තුන සළකලා බැලුවම, අවස්ථා තුනෙන් දෙකකදීම දොර මාරු කරන එකෙන් කාර් එක දිනන්න පුලුවන්.

මේ වෙද්දි ගොඩක් අයට තේරිලා ඇති කියලා හිතනවා. ඒත් නැත්නම්, තව උදාහරණයක් දෙන්නම්කෝ.

හිතන්න දොරවල් තුනක් නෙමෙයි, දොරවල් 100 ක් තියෙනවා කියලා.
ඉන් 99 කම ඉන්නෙ එලුවෝ, එකක විතරක් කාර් එකක් තියෙනවා.
ඔයා අහම්බෙන් එක දොරක් තෝරගන්නවා.
ඊට පස්සෙ හොස්ට් ඔයාට දොරවල් 98 ක් ඇරලා පෙන්නනවා. ඒ සේරගේම ඉන්නෙ එලුවො.
දැන් ඇරල නැත්තෙ ඔයා මුලින්ම තෝරගත්තු දොරයි, හොස්ට් මගඇරපු අනික් එක දොරයි.
දැන් හිතලා බලන්න, කාර් එක තියෙන්න වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙන්නේ ඔයා මුලින් අහම්බෙන් තෝරගත්ත දොරේද, නැත්නම් අර හොස්ට් ඇරපු නැති අනිත් දොරේද?

මෙතනදි නම් ගොඩක් අය පිළිගන්නවා වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙන්නෙ අපි මුලින් තෝරගත්තු දොරට නෙමෙයි, හොස්ට් හිතාමතාම මගඇරපු දොරට කියලා. හැබැයි දොරවල් ගාන තුනට අඩු කරාම තමා මොළේ වයර් අවුල් වෙන්න ගන්නේ.

මුලින්ම මේ ගැටළුව ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නෙ Steve Selvin කියන සංඛ්‍යාන විද්‍යාඥයා 1975 දී American Statistician සඟරාවට ලියපු ලිපියක. ඒත් මේක වඩාත් ප්‍රසිද්ධ වුනේ 1990 දී Marilyn vos Savant කියන ලේඛිකාව Parade සඟරාවේ තමන්ගේ column එකේ මේකට උත්තරය ලිව්වට පස්සේ. ඊට පස්සේ මේ සඟරාවට ලියුම් එන්න ගත්තලු හතර වටෙන්ම. මහාචාර්යවරු, සංඛ්‍යානඥයො දහස් ගාණක් මේක පිළිගන්න කැමති වුනේ නෑලු. ලෝකෙ විශිෂ්ඨම ගණිතඥයෙක් වුනු Paul Erdős පවා මේක පිළි අරන් තියෙන්නෙ පරිගණක simulation එකක් දැක්කට පස්සේ.

ChatGPT ගෙ උදව්වෙන් මං හදපු simulation එකක් මේ තියෙන්නෙ. Javascript තේරෙනව නම් ඔයාටම මේක පරීක්ෂණාත්මකව ඔප්පු කරගන්න පුලුවන්.

 

[ChamodhK]

bbump

 

[bruges]

Bump

 

[imhotep]

The origin of this problem dates back to 1889. It's a variation of Bertrand's Boxes problem. Bertrand offered the solution, arrived at the correct answer but his thinking was flawed.
Also Martin Gardner's Three Prisoners Problem is another mathematically equivalent problem.

There are many ways to solve the Monty Hall problem and possibly the simplest is to use Bayes' Theorem.

The flaw in thinking stems from the fact that most are not taking Monty's filtering into account, thinking the chances are the same before and after. So it becomes a Statistical illusion.

There are many simulations, two are listed below.

https://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/
https://montyhall.io/

 

[amjad18]

bump

 

[Asmodeus]

There was a movie that used the same paradox too. 21 (2008). Kevin Spacey/Jim Sturgess explains the paradox here.

 

[Candid-B]

අඩේ මේක පැරඩොක්ස් එකක් වගේ නේද

 

[BenMacTavish]

අඩේ මේක පැරඩොක්ස් එකක් වගේ නේද

මේ වගේ ඒවට කියන්නෙ veridical paradox කියලා. සාමාන්‍යයෙන් පැරඩොක්ස් වල තියෙනවා වගේ ස්වයං-විසංවාදයක් හෝ තාර්කික වැරැද්දක් මෙතන නෑ. හැබැයි අපේ සහජ ඥානයෙන් (intuition) හිතෙන්නෙ එහෙම මොකක් හරි වැරැද්දක් තියෙනවා වගේ.

 

[IndrajithGamage]

90 දශකයේ ලෝක ප්‍රකට ගණිතඥයන්ව පවා අන්ද මන්ද කරපු ගණිත ගැටලුවක් මේක. ඒ වුනාට මහා සංකීර්ණ ගණිතයක් මේකෙ නෑ, සරල සම්භාවිතාවය විතරයි.

මේකයි ගැටලුව:

හිතන්න ඔයා රූපවාහිනී game show එකකට සහභාගී වෙනව කියලා. ඔයා ඉස්සරහින් වහපු දොරවල් තුනක් තියෙනවා. දැන් ගේම් ෂෝ එක මෙහෙයවන කෙනා (host) ඔයාට තරඟයේ ස්වභාවය විස්තර කරනවා. "ඔයා ඉස්සරහ තියෙන දොරවල් තුනෙන් එකක් පිටිපස්සේ කාර් එකක් තියෙනවා. අනිත් දොරවල් දෙක පිටිපස්සෙ එලුවො දෙන්නෙක් ඉන්නවා. ඔයා දොරවල් තුනෙන් එකක් තෝරගන්න ඕන. ඒක ඇතුලේ කාර් එක තිබ්බොත් ඔයාට කාර් එක හම්බවෙනවා. එලුවෙක් හිටියොත් ඔයාට එලුවවයි හම්බවෙන්නෙ."

View attachment 249229​

දැන් ඔයා දොරවල් තුනෙන් එකක් තෝරගන්නවා. අපි නිකමට හිතමු ඔයා පළවෙනි (1) දොර තෝරගත්තා කියලා.

දැන් ගේම් ෂෝ එකේ හොස්ට් ඔයාට මෙහෙම කියනවා. "මම දැන් ඔයාට අනිත් දොරවල් දෙකෙන් එකක් ඇරලා පෙන්නන්නම්." එහෙම කියලා පොර දෙවෙනි (2) දොර ඇරලා පෙන්නනවා. ඒක එහා පැත්තේ ඉන්නෙ එළුවෙක්.

View attachment 249230​

දැන් හොස්ට් ඔයාගෙන් අහනවා. "ඔයාට නැවතත් තෝරගන්න අවස්ථාවක් දෙනවා. ඔයා මුලින්ම තෝරගත්තු දොරේම (1) ඉන්නවද, නැත්නම් අනිත් දොරට (3) මාරු වෙනවද?"

ඔයා හිතන්නෙ ඔයාට වැඩියෙන් වාසි මොකක්ද?

1) මුලින් තෝරගත්තු දොරේම ඉන්න එක
2) දොර මාරු කරන එක
3) දෙකෙන් මොකක් උනත් කමක් නෑ, 50-50 චාන්ස් එකක්නේ තියෙන්නෙ.

ඔයාට එක පාරම හරියි කියලා හිතෙන උත්තරේ බොහෝ දුරට වැරදියි. ඒ හින්දා තව ටිකක් කල්පනා කරලා බලන්න. සම්භාවිතා වගුවක් ගහලා බැලුවත් කමක් නෑ.

මෙතන වැදගත් key තොරතුර තමා: හොස්ට් දන්නවා කාර් එක තියෙන්නෙ මොන දොර පිටිපස්සෙද කියලා.

තීරණය කරලා ඉවර නම් උත්තරේ බලන්න පල්ලෙහාට ස්ක්‍රෝල් කරන්න.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

උත්තරේ තමා: 2

දොර මාරු කරන එකෙන් ඔයාට කාර් එක දිනන්න තියෙන චාන්ස් එක 2/3 කට වැඩි වෙනවා.
මුලින් තෝරගත්තු දොරේම හිටියොත් දිනන්න තියෙන චාන්ස් එක 1/3 යි.

ගොඩක් දෙනෙක් හිතන්නේ දොර මාරු කරත්, හිටිය එකේම හිටියත් කිසිම වෙනසක් වෙන්නෙ නෑ කියලයි. මොකද දොරවල් දෙකටම 1/2 චාන්ස් එකක් නේ තියෙන්න ඕන. ඒත් ඇත්තටම, දොර මාරු කරන එකෙන් වාසියක් තියෙනවා.

දැන් ඕක මං කියපු ගමන් පිළිගන්නෑ කියලා දන්නවා, ඒ හින්දා මං පැහැදිළි කරන්නම්.

මුලින්ම තේරුම් ගන්න ඕන කාරනය තමා, ගේම් ෂෝ එකේ හොස්ට් දන්නවා කාර් එක තියෙන්නෙ මොන දොරට එහායින්ද කියලා. මිනිහා හැම තිස්සෙම අපිට ඇරලා පෙන්නන්නේ එලුවෙක් ඉන්න දොර. කාර් එක තියෙන දොර ඇරලා පෙන්නලා හරියන්නෙ නෑනෙ.

ඔයා මුලින්ම දොරක් තෝරගද්දි, ඒ තෝරගත්ත දොර ඇරියම කාර් එක තිබීමේ සම්භාවිතය කොච්චරද? 1/3 යි.
ඔයා වැරදි දොර තෝරගන්න 2/3 ක ඉහළ චාන්ස් එකක් තියෙනවා.
හොස්ට් ඔයාට එක දොරක් ඇරලා එලුවෙක් පෙන්නුවාම ඔයාට ෂුවර්, එක්කො කාර් එක තියෙන්නෙ ඔයා තෝරගත්තු දොරේ, නැත්නම් අනිත් දොරේ.
ඒත් ඔයා මුලින් තෝරගත්තු දොර වැරදි දොර වෙන්නයි වැඩි චාන්ස් එකක් (2/3) තියෙන්නේ.
ඒ හින්දා අනිත් දොර තෝරගත්තොත් ඔයාට දිනන්න වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙනවා.

තේරුනෙ නැද්ද? නැත්නම් මාව විශ්වාස නැද්ද?

කාර් එක පළවෙනි, දෙවෙනි හෝ තුන්වෙනි ඕනෙම දොරක් පිටිපස්සෙ තියෙන්න චාන්ස් එකක් තියෙනවනේ.
අපි ඒ අවස්ථා තුනම සංසන්දනය කරලා බලමු.

පළවෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 1 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 2 වෙනි හෝ 3 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා පරාදයි.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් දිනුම්.

දෙවෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 2 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 3 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා දිනුම්.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් පරාදයි.

තුන්වෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 3 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 2 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා දිනුම්.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් පරාදයි.

උඩ අවස්ථා තුන සළකලා බැලුවම, අවස්ථා තුනෙන් දෙකකදීම දොර මාරු කරන එකෙන් කාර් එක දිනන්න පුලුවන්.

මේ වෙද්දි ගොඩක් අයට තේරිලා ඇති කියලා හිතනවා. ඒත් නැත්නම්, තව උදාහරණයක් දෙන්නම්කෝ.

හිතන්න දොරවල් තුනක් නෙමෙයි, දොරවල් 100 ක් තියෙනවා කියලා.
ඉන් 99 කම ඉන්නෙ එලුවෝ, එකක විතරක් කාර් එකක් තියෙනවා.
ඔයා අහම්බෙන් එක දොරක් තෝරගන්නවා.
ඊට පස්සෙ හොස්ට් ඔයාට දොරවල් 98 ක් ඇරලා පෙන්නනවා. ඒ සේරගේම ඉන්නෙ එලුවො.
දැන් ඇරල නැත්තෙ ඔයා මුලින්ම තෝරගත්තු දොරයි, හොස්ට් මගඇරපු අනික් එක දොරයි.
දැන් හිතලා බලන්න, කාර් එක තියෙන්න වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙන්නේ ඔයා මුලින් අහම්බෙන් තෝරගත්ත දොරේද, නැත්නම් අර හොස්ට් ඇරපු නැති අනිත් දොරේද?

මෙතනදි නම් ගොඩක් අය පිළිගන්නවා වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙන්නෙ අපි මුලින් තෝරගත්තු දොරට නෙමෙයි, හොස්ට් හිතාමතාම මගඇරපු දොරට කියලා. හැබැයි දොරවල් ගාන තුනට අඩු කරාම තමා මොළේ වයර් අවුල් වෙන්න ගන්නේ.

මුලින්ම මේ ගැටළුව ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නෙ Steve Selvin කියන සංඛ්‍යාන විද්‍යාඥයා 1975 දී American Statistician සඟරාවට ලියපු ලිපියක. ඒත් මේක වඩාත් ප්‍රසිද්ධ වුනේ 1990 දී Marilyn vos Savant කියන ලේඛිකාව Parade සඟරාවේ තමන්ගේ column එකේ මේකට උත්තරය ලිව්වට පස්සේ. ඊට පස්සේ මේ සඟරාවට ලියුම් එන්න ගත්තලු හතර වටෙන්ම. මහාචාර්යවරු, සංඛ්‍යානඥයො දහස් ගාණක් මේක පිළිගන්න කැමති වුනේ නෑලු. ලෝකෙ විශිෂ්ඨම ගණිතඥයෙක් වුනු Paul Erdős පවා මේක පිළි අරන් තියෙන්නෙ පරිගණක simulation එකක් දැක්කට පස්සේ.

ChatGPT ගෙ උදව්වෙන් මං හදපු simulation එකක් මේ තියෙන්නෙ. Javascript තේරෙනව නම් ඔයාටම මේක පරීක්ෂණාත්මකව ඔප්පු කරගන්න පුලුවන්.

Translate කරන්න යද්දි වැදගත් දෙයක් මිස් වෙලා වගේ. එ‍් තමයි අපිට guess කරන්න කියල උඩින්ම තියෙන කොටසෙදි එයා "හැම වෙලාවෙම" එළුවෙක් ඉන්න දොරක්ම අ‍ැරල පෙන්නනවා කියන එක. එ‍්ක පැහැදිලිව නොකියා ඔය ප්‍රශ්නෙ අ‍ැහුවොත් යටින් දාල තියෙන සම්පූර්ණ පැහැදිලි කිරීමම වැරදියි.

Always කියන වචනෙ translate කරගන්න බැරි වුණ නිසා මගෙ උත්තරය කොහොමත් එකයි කියන එක තමයි. මාරු කරත්, නැතත් සම්භාවිතාව වෙනසක් නෑ.

හැබැයි යට කෑල්ලෙ අතින් දාල ලියල තියෙන විදිහට එයා හැම වෙලාවෙම එළුවෙක් ඉන්න දොරක්ම පෙන්නනවා නම් අනිවාර්යයෙන්ම දොර මාරු කරන්න ඕන තමයි. හැබැයි එ‍් දත්තය නොදී අර උත්තරේ බලාපොරොත්තු වෙන එක මෝඩ කම.

 

[BenMacTavish]

Translate කරන්න යද්දි වැදගත් දෙයක් මිස් වෙලා වගේ. එ‍් තමයි අපිට guess කරන්න කියල උඩින්ම තියෙන කොටසෙදි එයා "හැම වෙලාවෙම" එළුවෙක් ඉන්න දොරක්ම අ‍ැරල පෙන්නනවා කියන එක. එ‍්ක පැහැදිලිව නොකියා ඔය ප්‍රශ්නෙ අ‍ැහුවොත් යටින් දාල තියෙන සම්පූර්ණ පැහැදිලි කිරීමම වැරදියි.

Always කියන වචනෙ translate කරගන්න බැරි වුණ නිසා මගෙ උත්තරය කොහොමත් එකයි කියන එක තමයි. මාරු කරත්, නැතත් සම්භාවිතාව වෙනසක් නෑ.

හැබැයි යට කෑල්ලෙ අතින් දාල ලියල තියෙන විදිහට එයා හැම වෙලාවෙම එළුවෙක් ඉන්න දොරක්ම පෙන්නනවා නම් අනිවාර්යයෙන්ම දොර මාරු කරන්න ඕන තමයි. හැබැයි එ‍් දත්තය නොදී අර උත්තරේ බලාපොරොත්තු වෙන එක මෝඩ කම.

ඒ දත්තය ඉතින් සාමාන්‍ය බුද්ධියෙන් infer කරගන්න ඕන. මේ ප්‍රශ්නේ අහල තියෙන කොතනවත් ඕක explicitly කියල නෑ.

විකිපීඩියාවෙ තියෙන්නෙ මෙහෙම:
"Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Is it to your advantage to switch your choice?"

Also,
"Savant commented that, though some confusion was caused by some readers' not realizing they were supposed to assume that the host must always reveal a goat, almost all her numerous correspondents had correctly understood the problem assumptions, and were still initially convinced that Savant's answer ("switch") was wrong."

 

[sinhawanshaya]

90 දශකයේ ලෝක ප්‍රකට ගණිතඥයන්ව පවා අන්ද මන්ද කරපු ගණිත ගැටලුවක් මේක. ඒ වුනාට මහා සංකීර්ණ ගණිතයක් මේකෙ නෑ, සරල සම්භාවිතාවය විතරයි.

මේකයි ගැටලුව:

හිතන්න ඔයා රූපවාහිනී game show එකකට සහභාගී වෙනව කියලා. ඔයා ඉස්සරහින් වහපු දොරවල් තුනක් තියෙනවා. දැන් ගේම් ෂෝ එක මෙහෙයවන කෙනා (host) ඔයාට තරඟයේ ස්වභාවය විස්තර කරනවා. "ඔයා ඉස්සරහ තියෙන දොරවල් තුනෙන් එකක් පිටිපස්සේ කාර් එකක් තියෙනවා. අනිත් දොරවල් දෙක පිටිපස්සෙ එලුවො දෙන්නෙක් ඉන්නවා. ඔයා දොරවල් තුනෙන් එකක් තෝරගන්න ඕන. ඒක ඇතුලේ කාර් එක තිබ්බොත් ඔයාට කාර් එක හම්බවෙනවා. එලුවෙක් හිටියොත් ඔයාට එලුවවයි හම්බවෙන්නෙ."

View attachment 249229​

දැන් ඔයා දොරවල් තුනෙන් එකක් තෝරගන්නවා. අපි නිකමට හිතමු ඔයා පළවෙනි (1) දොර තෝරගත්තා කියලා.

දැන් ගේම් ෂෝ එකේ හොස්ට් ඔයාට මෙහෙම කියනවා. "මම දැන් ඔයාට අනිත් දොරවල් දෙකෙන් එකක් ඇරලා පෙන්නන්නම්." එහෙම කියලා පොර දෙවෙනි (2) දොර ඇරලා පෙන්නනවා. ඒක එහා පැත්තේ ඉන්නෙ එළුවෙක්.

View attachment 249230​

දැන් හොස්ට් ඔයාගෙන් අහනවා. "ඔයාට නැවතත් තෝරගන්න අවස්ථාවක් දෙනවා. ඔයා මුලින්ම තෝරගත්තු දොරේම (1) ඉන්නවද, නැත්නම් අනිත් දොරට (3) මාරු වෙනවද?"

ඔයා හිතන්නෙ ඔයාට වැඩියෙන් වාසි මොකක්ද?

1) මුලින් තෝරගත්තු දොරේම ඉන්න එක
2) දොර මාරු කරන එක
3) දෙකෙන් මොකක් උනත් කමක් නෑ, 50-50 චාන්ස් එකක්නේ තියෙන්නෙ.

ඔයාට එක පාරම හරියි කියලා හිතෙන උත්තරේ බොහෝ දුරට වැරදියි. ඒ හින්දා තව ටිකක් කල්පනා කරලා බලන්න. සම්භාවිතා වගුවක් ගහලා බැලුවත් කමක් නෑ.

මෙතන වැදගත් key තොරතුර තමා: හොස්ට් දන්නවා කාර් එක තියෙන්නෙ මොන දොර පිටිපස්සෙද කියලා.

තීරණය කරලා ඉවර නම් උත්තරේ බලන්න පල්ලෙහාට ස්ක්‍රෝල් කරන්න.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

උත්තරේ තමා: 2

දොර මාරු කරන එකෙන් ඔයාට කාර් එක දිනන්න තියෙන චාන්ස් එක 2/3 කට වැඩි වෙනවා.
මුලින් තෝරගත්තු දොරේම හිටියොත් දිනන්න තියෙන චාන්ස් එක 1/3 යි.

ගොඩක් දෙනෙක් හිතන්නේ දොර මාරු කරත්, හිටිය එකේම හිටියත් කිසිම වෙනසක් වෙන්නෙ නෑ කියලයි. මොකද දොරවල් දෙකටම 1/2 චාන්ස් එකක් නේ තියෙන්න ඕන. ඒත් ඇත්තටම, දොර මාරු කරන එකෙන් වාසියක් තියෙනවා.

දැන් ඕක මං කියපු ගමන් පිළිගන්නෑ කියලා දන්නවා, ඒ හින්දා මං පැහැදිළි කරන්නම්.

මුලින්ම තේරුම් ගන්න ඕන කාරනය තමා, ගේම් ෂෝ එකේ හොස්ට් දන්නවා කාර් එක තියෙන්නෙ මොන දොරට එහායින්ද කියලා. මිනිහා හැම තිස්සෙම අපිට ඇරලා පෙන්නන්නේ එලුවෙක් ඉන්න දොර. කාර් එක තියෙන දොර ඇරලා පෙන්නලා හරියන්නෙ නෑනෙ.

ඔයා මුලින්ම දොරක් තෝරගද්දි, ඒ තෝරගත්ත දොර ඇරියම කාර් එක තිබීමේ සම්භාවිතය කොච්චරද? 1/3 යි.
ඔයා වැරදි දොර තෝරගන්න 2/3 ක ඉහළ චාන්ස් එකක් තියෙනවා.
හොස්ට් ඔයාට එක දොරක් ඇරලා එලුවෙක් පෙන්නුවාම ඔයාට ෂුවර්, එක්කො කාර් එක තියෙන්නෙ ඔයා තෝරගත්තු දොරේ, නැත්නම් අනිත් දොරේ.
ඒත් ඔයා මුලින් තෝරගත්තු දොර වැරදි දොර වෙන්නයි වැඩි චාන්ස් එකක් (2/3) තියෙන්නේ.
ඒ හින්දා අනිත් දොර තෝරගත්තොත් ඔයාට දිනන්න වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙනවා.

තේරුනෙ නැද්ද? නැත්නම් මාව විශ්වාස නැද්ද?

කාර් එක පළවෙනි, දෙවෙනි හෝ තුන්වෙනි ඕනෙම දොරක් පිටිපස්සෙ තියෙන්න චාන්ස් එකක් තියෙනවනේ.
අපි ඒ අවස්ථා තුනම සංසන්දනය කරලා බලමු.

පළවෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 1 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 2 වෙනි හෝ 3 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා පරාදයි.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් දිනුම්.

දෙවෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 2 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 3 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා දිනුම්.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් පරාදයි.

තුන්වෙනි අවස්ථාව:
කාර් එක තියෙන්නෙ 3 වෙනි දොර ඇතුලේ.
ඔයා 1 වෙනි දොර තෝරගන්නවා.
හොස්ට් ඔයාට 2 වෙනි දොර ඇරලා එලුවව පෙන්නනවා.
ඔයා දොර මාරු කරොත් ඔයා දිනුම්.
ඔයා හිටපු දොරේම හිටියොත් පරාදයි.

උඩ අවස්ථා තුන සළකලා බැලුවම, අවස්ථා තුනෙන් දෙකකදීම දොර මාරු කරන එකෙන් කාර් එක දිනන්න පුලුවන්.

මේ වෙද්දි ගොඩක් අයට තේරිලා ඇති කියලා හිතනවා. ඒත් නැත්නම්, තව උදාහරණයක් දෙන්නම්කෝ.

හිතන්න දොරවල් තුනක් නෙමෙයි, දොරවල් 100 ක් තියෙනවා කියලා.
ඉන් 99 කම ඉන්නෙ එලුවෝ, එකක විතරක් කාර් එකක් තියෙනවා.
ඔයා අහම්බෙන් එක දොරක් තෝරගන්නවා.
ඊට පස්සෙ හොස්ට් ඔයාට දොරවල් 98 ක් ඇරලා පෙන්නනවා. ඒ සේරගේම ඉන්නෙ එලුවො.
දැන් ඇරල නැත්තෙ ඔයා මුලින්ම තෝරගත්තු දොරයි, හොස්ට් මගඇරපු අනික් එක දොරයි.
දැන් හිතලා බලන්න, කාර් එක තියෙන්න වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙන්නේ ඔයා මුලින් අහම්බෙන් තෝරගත්ත දොරේද, නැත්නම් අර හොස්ට් ඇරපු නැති අනිත් දොරේද?

මෙතනදි නම් ගොඩක් අය පිළිගන්නවා වැඩි චාන්ස් එකක් තියෙන්නෙ අපි මුලින් තෝරගත්තු දොරට නෙමෙයි, හොස්ට් හිතාමතාම මගඇරපු දොරට කියලා. හැබැයි දොරවල් ගාන තුනට අඩු කරාම තමා මොළේ වයර් අවුල් වෙන්න ගන්නේ.

මුලින්ම මේ ගැටළුව ඉදිරිපත් කරලා තියෙන්නෙ Steve Selvin කියන සංඛ්‍යාන විද්‍යාඥයා 1975 දී American Statistician සඟරාවට ලියපු ලිපියක. ඒත් මේක වඩාත් ප්‍රසිද්ධ වුනේ 1990 දී Marilyn vos Savant කියන ලේඛිකාව Parade සඟරාවේ තමන්ගේ column එකේ මේකට උත්තරය ලිව්වට පස්සේ. ඊට පස්සේ මේ සඟරාවට ලියුම් එන්න ගත්තලු හතර වටෙන්ම. මහාචාර්යවරු, සංඛ්‍යානඥයො දහස් ගාණක් මේක පිළිගන්න කැමති වුනේ නෑලු. ලෝකෙ විශිෂ්ඨම ගණිතඥයෙක් වුනු Paul Erdős පවා මේක පිළි අරන් තියෙන්නෙ පරිගණක simulation එකක් දැක්කට පස්සේ.

ChatGPT ගෙ උදව්වෙන් මං හදපු simulation එකක් මේ තියෙන්නෙ. Javascript තේරෙනව නම් ඔයාටම මේක පරීක්ෂණාත්මකව ඔප්පු කරගන්න පුලුවන්.

Elakiri thiyenna oney me wage dewalata

 

[Mahesh Wanasinghe]

up

 

[Candid-B]

එළකිරියෙ කාලෙකින් දැක්ක වැදගත් ත්‍රෙඩ් එකක්. ස්තූතියි දැම්මට.

 

[djuk]

Thanks

 

[imhotep]

අඩේ මේක පැරඩොක්ස් එකක් වගේ නේද

That's why its termed as a seemingly paradoxical problem in conditional probability.

 

[S Fetus AKA Pseudo Khan]

අර Zeno ගෙ dichotomy පැරඩොක්ස් එකකත් ඔහොම විකාරයක් තමයි.

 

[dilann]

හැම වෙලාවෙම" එළුවෙක් ඉන්න දොරක්ම අ‍ැරල පෙන්නනවා කියන එක

ඔව් . ඔය කෑල්ල නිසා තමයි ඕක වෙන්නේ

 

[imhotep]

අර Zeno ගෙ dichotomy පැරඩොක්ස් එකකත් ඔහොම විකාරයක් තමයි.

Nope.. Zeno's paradox is not mathematically similar to the Monty Hall problem...

 

[RIU]

 

[IndrajithGamage]

ඔව් . ඔය කෑල්ල නිසා තමයි ඕක වෙන්නේ

අන්න එ‍්කයි.