ඕක AL වලටත් උගන්නන්නෑ බං නිකංම
කියල කියා දෙනව
sin(0) = 0
නිකං 0 ත් 0යි
එතකොට 0/0 = 1 වගේ ගන්නව වගේ ඒත් 0/0 තේරුමක් නෑ ඕනෙම උත්තරයක් තියෙන්න පුලුවන්
ඕක ජ්යාමිතිකව ගන්නෙ වෘත්තයක් ගහල
උඹ රේඩියන් වලිං කෝණෙ මණින එක ගැන දන්නවනෙ ? වෘතයක් ඇඳල ඒකෙන් කෑල්ලක් කැපුවාම කෝණෙ x නං කැපිච්ච රවුං කෑල්ලෙ දිග r*x වෙන විදිහට කෝණයට අලුත් ඒකකයක් හඳුන්වා දෙනව
එතකොට වෘත්තයම (අංශක 360) ගත්තාම 2*pi*r
ඒ කියන්නෙ අංශක 360ක් කියන්නෙ රේඩියන් 2*pi කියල ගන්නව
sin(x)/(x) ගන්න මෙහෙම රූපයක් අඳිනව
ඔය වෘත්තයේ අරය ඒකක 1යි. එහෙම ගත්තාම රතු පාට ඉරේ උස sin(theta) වෙනව එතකොට කලු පාට ඉරි කෑල්ලෙ දිග (theta) වෙනව
දැන් ගන්න ඕනෙ theta --> 0 ට යද්දි sin(theta)/theta නෙ. ඒ කියන්නෙ කෝණෙ පොඩි කර කර පොඩි කර කර 0ටම අරං ගියාම රතු පාට ඉරි කෑල්ලෙ උස / කලු පාට ඉරි කෑල්ලෙ උස
2වනි රූපෙ කෝණෙ පොඩි කල්ල ඇඳල තියෙනව දැක්කනෙ පොඩි කරන්න පොඩි කරන්න ඉරි කෑලි දෙකේ දිගවල් එන්න එන්න සමාන වෙනව. හරියටම සමාන වෙන්න නං කෝණෙ 0ටම පොඩි වෙන්න ඕනෙ
කෝණෙ 0ට ආවාම sin(theta) = (theta) වෙනව
ඒ කියන්නෙ theta--> යද්දි sin(theta)/(theta) = 1 යි
ඔව වගේ තව උදාහරණෙකට
මේක ගන්නකො. x --> 1 ට යද්දි උඩ කෑල්ලත් 0 යි යට කෑල්ලත් 0යි. එතකොට ඕකත් එන්නෙ 0/0 කියල තේරුමක් නැති එකක්. ඒකට කරන්නෙ ඕක
කියල අරගෙන x-1 කෑලි 2 කපල දානව එතකොට ඉතුරු වෙන්නෙ 1+1 = 2යි කියල
ගණං වල 0/0 ආවාම 0වට 0ව කපල දාන්න බෑ. ඒ කරදරෙන් බේරෙන්න තමා limit කියන සංකල්පය හැදුවෙ
limit වල කරන්නෙ x අපිට කපන්න පුලුවන් තරං ලං කරන එක එතකොට ලිමිට් වල 0 වුනත් එකම 0 නං අපිට 0ට 0ව කපන්න පුලුවන්
x--> 0 ට යද්දි 2x = 0යි
x--> 0 ට යද්දි 4x = 0යි.
ඇත්තටම limit කියන්නෙ එකතු කිරීම් අඩු කිරිම් වලදි නොසලකා හරින්න පුලුවන් තරං පොඩි ඒත් බෙදීමෙදි කපන්න පුලුවන් තරං ලොකු 0ත් නොවෙන හැබැයි 0 නමෛ්ත් නොවෙන අමුතුම අසාමාන්යය ලෙස කුඩා අගයකට x යවන එක. ඒ නිසා x-->0 ට යද්දි (2x)/(4x) = 2/4 = 1/2 යි කියල ලියනව
ඔය සිද්ධාන්තය හොඳටම පැහැදිලි වෙන්නෙ limit නැතුව ඕක infinitesimal වලිං හිතුවාම
limit කියන සංකල්පය නිර්මාණය කරන්න කලිං ගණිතයේ භාවිතා වුනේ
කියන සංකල්පය
ඕකෙ අදහස N ට මොන ඉලක්කම දැම්මත් epsilon කියන අගය ඒ හැම අගයකටම වඩා පොඩියි. N ට එන්න එන්න ලොකු ඉලක්කං දාන්න දාන්න 1/N කියන එක පොඩි වෙනව. N ට කෝටිය දැම්මත් epsilon ඊට වඩා පොඩියි ගූගලයක් දැම්මත් epsilon ඊට වඩා පොඩියි. හැබැයි කොච්චර ලොකු ඉලක්කමත් දැම්මත් 1/N 0ක් වෙන්නෑනෙ (අනන්තෙ කියන්නෙ ඉලක්කමක් විදිහට ගන්නෑ).
එතකොට මොන ඉලක්කම දැම්මත් 1/N ට වඩා පොඩියි කියන්නෙ ඒත් 0ට වඩා ලොකුයි කියන්නෙ ඕක තමා ගණිතයේ තියෙන පොඩීම පොඩීම පොඩීම අගය. ඕක කොච්චර පොඩිද කියනව නං 1+epsilon = 1 කියලමයි ගන්නෙ. එකතු කරද්දි ඒක සලකල තේරුමක් නෑ. ඒත් (2epsilon)/(epsilon) කියල තිබ්බොත් උඩ epsilonට යට epsilon කපල දැම්මෑකි මොකද 0 නොවෙන නිසා එතකොට (2epsilon)/(epsilon) = 2යි කියල ගත්තෑකි. ඔන්න ඔය epsilon අංකනය ඊට වඩා ලේසි විදියට ඉදිරිපත් කරන්න තමා පසුකාළිනව limit කියන එක හඳුන්වා දෙන්නෙ. දෙකෙන්ම කරන්නෙ 0ක් එකතු කරන්න තිබ්බොත් නොසලකා හැරල බෙදන්න තිබ්බොත් 0ට 0 කපල දාල උත්තරේ ගන්න එක
තව පැහැදිලි කරනව නං
කියල කියන්නෙ
මේ දෙකෙන් එකකට. + වෙන්නත් පුලුවන් - වෙන්නත් පුලුවන්.
කියන්නෙ
හෝ
. අවස්ථාවෙ හැටියට + - වෙන වෙනම හදල බලන්න ඕනෙ + - අවස්ථා දෙකටම ගොඩක් වෙලාවට එන්නෙ එකම උත්තරේ. උත්තර 2ක් එනව නං කියනව ඒ සීමාව නොපවතී කියල.
දැන් ඕකෙ තියෙන්නෙ
කියලනෙ. ඕක කඩනව
කියල. limit වල නියත කොහෙ තිබ්බත් එකයි. x කීයට ගියත් 4ඉලක්කමේ අගය වෙනස් වෙන්නෙත් නෑ 3 ඉලක්කමේ අගය වෙනස් වෙන්නෙත් නෑ. දැන් ඕනෙ x-->0 ට යනව කියන්නෙ x/3ත් 0 ට යනව. එතකොට x/3 = y කියල ගත්තොත් ඕක එන්නෙ
කියල. y--> 0 ට යද්දි sin
/ = 1යිනෙ. ඕකෙ එතකොට එන්නෙ 1^3 කියල. ඒත් 1ම තමා 
: yes: එතකොට උත්තරේ 4යට 3^3
තව ගැටලු තියේ නං අහපං.
කියල කියා දෙනව
sin(0) = 0
නිකං 0 ත් 0යි
එතකොට 0/0 = 1 වගේ ගන්නව වගේ ඒත් 0/0 තේරුමක් නෑ ඕනෙම උත්තරයක් තියෙන්න පුලුවන්
ඕක ජ්යාමිතිකව ගන්නෙ වෘත්තයක් ගහල
උඹ රේඩියන් වලිං කෝණෙ මණින එක ගැන දන්නවනෙ ? වෘතයක් ඇඳල ඒකෙන් කෑල්ලක් කැපුවාම කෝණෙ x නං කැපිච්ච රවුං කෑල්ලෙ දිග r*x වෙන විදිහට කෝණයට අලුත් ඒකකයක් හඳුන්වා දෙනව
එතකොට වෘත්තයම (අංශක 360) ගත්තාම 2*pi*r
ඒ කියන්නෙ අංශක 360ක් කියන්නෙ රේඩියන් 2*pi කියල ගන්නව
sin(x)/(x) ගන්න මෙහෙම රූපයක් අඳිනව
ඔය වෘත්තයේ අරය ඒකක 1යි. එහෙම ගත්තාම රතු පාට ඉරේ උස sin(theta) වෙනව එතකොට කලු පාට ඉරි කෑල්ලෙ දිග (theta) වෙනව
දැන් ගන්න ඕනෙ theta --> 0 ට යද්දි sin(theta)/theta නෙ. ඒ කියන්නෙ කෝණෙ පොඩි කර කර පොඩි කර කර 0ටම අරං ගියාම රතු පාට ඉරි කෑල්ලෙ උස / කලු පාට ඉරි කෑල්ලෙ උස
2වනි රූපෙ කෝණෙ පොඩි කල්ල ඇඳල තියෙනව දැක්කනෙ පොඩි කරන්න පොඩි කරන්න ඉරි කෑලි දෙකේ දිගවල් එන්න එන්න සමාන වෙනව. හරියටම සමාන වෙන්න නං කෝණෙ 0ටම පොඩි වෙන්න ඕනෙ
කෝණෙ 0ට ආවාම sin(theta) = (theta) වෙනව
ඒ කියන්නෙ theta--> යද්දි sin(theta)/(theta) = 1 යි
ඔව වගේ තව උදාහරණෙකට
මේක ගන්නකො. x --> 1 ට යද්දි උඩ කෑල්ලත් 0 යි යට කෑල්ලත් 0යි. එතකොට ඕකත් එන්නෙ 0/0 කියල තේරුමක් නැති එකක්. ඒකට කරන්නෙ ඕක
කියල අරගෙන x-1 කෑලි 2 කපල දානව එතකොට ඉතුරු වෙන්නෙ 1+1 = 2යි කියල
ගණං වල 0/0 ආවාම 0වට 0ව කපල දාන්න බෑ. ඒ කරදරෙන් බේරෙන්න තමා limit කියන සංකල්පය හැදුවෙ
limit වල කරන්නෙ x අපිට කපන්න පුලුවන් තරං ලං කරන එක එතකොට ලිමිට් වල 0 වුනත් එකම 0 නං අපිට 0ට 0ව කපන්න පුලුවන්
x--> 0 ට යද්දි 2x = 0යි
x--> 0 ට යද්දි 4x = 0යි.
ඇත්තටම limit කියන්නෙ එකතු කිරීම් අඩු කිරිම් වලදි නොසලකා හරින්න පුලුවන් තරං පොඩි ඒත් බෙදීමෙදි කපන්න පුලුවන් තරං ලොකු 0ත් නොවෙන හැබැයි 0 නමෛ්ත් නොවෙන අමුතුම අසාමාන්යය ලෙස කුඩා අගයකට x යවන එක. ඒ නිසා x-->0 ට යද්දි (2x)/(4x) = 2/4 = 1/2 යි කියල ලියනව
ඔය සිද්ධාන්තය හොඳටම පැහැදිලි වෙන්නෙ limit නැතුව ඕක infinitesimal වලිං හිතුවාම
limit කියන සංකල්පය නිර්මාණය කරන්න කලිං ගණිතයේ භාවිතා වුනේ
කියන සංකල්පය
ඕකෙ අදහස N ට මොන ඉලක්කම දැම්මත් epsilon කියන අගය ඒ හැම අගයකටම වඩා පොඩියි. N ට එන්න එන්න ලොකු ඉලක්කං දාන්න දාන්න 1/N කියන එක පොඩි වෙනව. N ට කෝටිය දැම්මත් epsilon ඊට වඩා පොඩියි ගූගලයක් දැම්මත් epsilon ඊට වඩා පොඩියි. හැබැයි කොච්චර ලොකු ඉලක්කමත් දැම්මත් 1/N 0ක් වෙන්නෑනෙ (අනන්තෙ කියන්නෙ ඉලක්කමක් විදිහට ගන්නෑ).
එතකොට මොන ඉලක්කම දැම්මත් 1/N ට වඩා පොඩියි කියන්නෙ ඒත් 0ට වඩා ලොකුයි කියන්නෙ ඕක තමා ගණිතයේ තියෙන පොඩීම පොඩීම පොඩීම අගය. ඕක කොච්චර පොඩිද කියනව නං 1+epsilon = 1 කියලමයි ගන්නෙ. එකතු කරද්දි ඒක සලකල තේරුමක් නෑ. ඒත් (2epsilon)/(epsilon) කියල තිබ්බොත් උඩ epsilonට යට epsilon කපල දැම්මෑකි මොකද 0 නොවෙන නිසා එතකොට (2epsilon)/(epsilon) = 2යි කියල ගත්තෑකි. ඔන්න ඔය epsilon අංකනය ඊට වඩා ලේසි විදියට ඉදිරිපත් කරන්න තමා පසුකාළිනව limit කියන එක හඳුන්වා දෙන්නෙ. දෙකෙන්ම කරන්නෙ 0ක් එකතු කරන්න තිබ්බොත් නොසලකා හැරල බෙදන්න තිබ්බොත් 0ට 0 කපල දාල උත්තරේ ගන්න එක
තව පැහැදිලි කරනව නං
කියල කියන්නෙ
මේ දෙකෙන් එකකට. + වෙන්නත් පුලුවන් - වෙන්නත් පුලුවන්.
කියන්නෙ
හෝ
. අවස්ථාවෙ හැටියට + - වෙන වෙනම හදල බලන්න ඕනෙ + - අවස්ථා දෙකටම ගොඩක් වෙලාවට එන්නෙ එකම උත්තරේ. උත්තර 2ක් එනව නං කියනව ඒ සීමාව නොපවතී කියල.
දැන් ඕකෙ තියෙන්නෙ
කියලනෙ. ඕක කඩනව
කියල. limit වල නියත කොහෙ තිබ්බත් එකයි. x කීයට ගියත් 4ඉලක්කමේ අගය වෙනස් වෙන්නෙත් නෑ 3 ඉලක්කමේ අගය වෙනස් වෙන්නෙත් නෑ. දැන් ඕනෙ x-->0 ට යනව කියන්නෙ x/3ත් 0 ට යනව. එතකොට x/3 = y කියල ගත්තොත් ඕක එන්නෙ
කියල. y--> 0 ට යද්දි sin
/ = 1යිනෙ. ඕකෙ එතකොට එන්නෙ 1^3 කියල. ඒත් 1ම තමා : yes: එතකොට උත්තරේ 4යට 3^3තව ගැටලු තියේ නං අහපං.
